Tìm số thực $m$ thỏa mãn $9+{\int }_0^1(2m^{2}x-6m)dx=0$.

Cho ∫ f ( x ) dx = 2, ∫ g ( x ) dx = −1 . Khi đó I =∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )dx bằng
−1 −1 −1

17 1 15

Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x=0$ và $x=2$. Cắt phần vật thể này bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 2)$ thì phần chung của mặt phẳng và vật thể là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $x^2\sqrt{2-x}$. Tính thể tích của vật thể này.

Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $f(x)=e^x,y=0,x=0,x=\ln 4$. Đường thẳng $x=k(0<k<\ln 4)$ chia hình $(H)$ thành hai hình $(H_1),(H_2)$ có diện tích lần lượt là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Với $(H_1)$ là hình gồm những điểm có hoành độ nhỏ hơn $k$, $(H_2)$ là hình gồm những điểm có hoành độ lớn hơn $k$.

Trong một cuộc thi sáng tạo các chủ đề liên quan đến Kỷ niệm $50$ năm ngày miền Nam hoàn toàn giải phóng, một em học sinh lớp 12 đã đạt giải đặc biệt với một thiết kế vô cùng độc đáo. Em học sinh này đã thiết kế bề mặt của một chiếc đồng hồ treo tường bằng sự kết hợp giữa lịch sử, mỹ thuật và toán học.
- Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có cạnh bằng $2\text{ dm}$, nơi đây lưu giữ hình ảnh của chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào dinh độc lập.
- Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng $2\text{ dm}$.
- Đường cong trung gian có tên $(L)$ là tập hợp tất cả điểm $P$ sao cho nếu kẻ tia $Ot$ bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại $M,N$ thì $P$ là trung điểm $MN$, $O$ là tâm đường tròn. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(L)$ theo đơn vị ${\text{dm}}^2$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên thỏa mãn f ( x ) + f ' ( x ) = x 3 + 3x 2 - 4 x + 4, $\forall$ x $\in$ và
f (1) = 5 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = f ' ( x ) .
131 125 35 203

Tính ${\int }_0^3(4x^3-5x-2)\mathrm{d}x$.