Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn:
$$P\left(P(x)\right)=\left(x^2+2025x+2025\right).P(x),\forall x\in \mathbb{R}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n=\mathrm{deg}P$, hệ số cao nhất $a\ne 0$. Phương trình $P(P(x))=(x^2+2025x+2025)P(x)$ cho $\mathrm{deg}$ vế trái $=n^2$, vế phải $=n+2$, suy ra $n^2=n+2\Rightarrow n=2$ (hoặc $n=0$). Nếu $P=c$ hằng số thì $c=(x^2+2025x+2025)c\Rightarrow c=0$, tức $P(x)\equiv 0$ thỏa mãn. Với $n=2$, so sánh hệ số của $x^4$: vế trái có hệ số $a^3$, vế phải có $a$, suy ra $a^2=1$, tức $a=\pm 1$. Đặt $Q(x)=x^2+2025x+2025$.

**Trường hợp $a=1$:** $P(x)=x^2+bx+c$. Khi đó
$$P(P(x))=(x^2+bx+c{)}^2+b(x^2+bx+c)+c$$
$$=x^4+2b{x}^3+(b^2+2c+b)x^2+(2bc+b^2)x+(c^2+bc+c).$$
Vế phải: $Q(x)(x^2+bx+c)=x^4+(b+2025)x^3+(c+2025b+2025)x^2+(2025c+2025b)x+2025c$.
So sánh hệ số $x^3$: $2b=b+2025\Rightarrow b=2025$. So sánh hệ số $x^2$: $b^2+2c+b=c+2025b+2025\Rightarrow c=2024b+2025-b^2=2024\cdot 2025+2025-2025^2=0$. Kiểm tra hệ số $x$: $2bc+b^2=2025^2$ và $2025c+2025b=2025^2$ ✓; hệ số tự do: $0=0$ ✓. Vậy $P(x)=x^2+2025x$ thỏa mãn (kiểm tra trực tiếp: $P(P(x))=(x^2+2025x{)}^2+2025(x^2+2025x)=x^4+4050x^3+(2025^2+2025)x^2+2025^{2}x$ đúng bằng $(x^2+2025x+2025)(x^2+2025x)$).

**Trường hợp $a=-1$:** $P(x)=-x^2+bx+c$. Khi đó
$$P(P(x))=-(x^2+bx+c{)}^2+b(-x^2+bx+c)+c$$
$$=-x^4-2b{x}^3+(-b^2-2c-b)x^2+(b^2-2bc)x+(bc+c-c^2).$$
Vế phải: $Q(x)(-x^2+bx+c)=-x^4+(b-2025)x^3+(c-2025b-2025)x^2+(2025c-2025b)x+2025c$.
So sánh $x^3$: $-2b=b-2025\Rightarrow b=675$. So sánh $x^2$: $-b^2-2c-b=c-2025b-2025\Rightarrow -3c=b^2+b-2025b-2025=455625-1366200-2025=-912600\Rightarrow c=304200$. So sánh hệ số $x$: cần $b^2-2bc=2025c-2025b$, tức $455625-410670000=616005000-1366875$, tức $-410214375=614638125$, vô lý. Vậy trường hợp $a=-1$ không cho nghiệm.

Kết luận: các đa thức cần tìm là $P(x)\equiv 0$ và $P(x)=x^2+2025x$.