Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=m{x}^3-(m^2+1)x^2+2x-3$ đạt cực tiểu tại điểm $x=1$.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3m{x}^2-2(m^2+1)x+2$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ suy ra:
$$y^{\prime }(1)=0⟺3m-2(m^2+1)+2=0⟺-2m^2+3m=0⟺[\begin{array}{rl}m& =0\\ m& =\frac{3}{2}\end{array}$$
- Với $m=0$, $y=-x^2+2x-3$ có $y^{\prime }=-2x+2$, qua $x=1$ đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên đạt cực đại tại $x=1$ (loại).
- Với $m=\frac{3}{2}$, ta có $y^{\prime \prime }=6mx-2(m^2+1)=9x-2\left(\frac{9}{4}+1\right)=9x-\frac{13}{2}$.
Tại $x=1$: $y^{\prime \prime }(1)=9-\frac{13}{2}=\frac{5}{2}>0$, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (thỏa mãn).
Vậy $m=\frac{3}{2}$.