Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${\log }_3^{2}x+\sqrt{{\log }_3^{2}x+1}-2m-1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $[1;3\sqrt{3}]$.

Chọn B.
Đặt $t=\sqrt{{\log }_3^{2}x+1}$.
Với $x\in [1;3\sqrt{3}]=[1;3^{3/2}]$, ta có ${\log }_{3}x\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$.
Khi đó ${\log }_3^{2}x\in \left[0;\frac{9}{4}\right]\Rightarrow t=\sqrt{{\log }_3^{2}x+1}\in \left[1;\sqrt{\frac{13}{4}}\right]$ (hoặc nếu đoạn là $[1;27]$ thì ${\log }_{3}x\in [0;3]$).
Ta có phương trình trở thành:
$(t^2-1)+t-2m-1=0\iff t^2+t-2=2m\iff m=\frac{t^2+t-2}{2}=g(t)$.
Với $x=1\Rightarrow t=1\Rightarrow m=0$.
Với $x=3\sqrt{3}$, ở đây đề bài có nghiệm thuộc $[0;2]$ khi $t\in [1;2]$.
Xét hàm số $g(t)=\frac{t^2+t-2}{2}$ đồng biến trên $[1;2]$ nên $g(1)\le 2m\le g(2)\iff 0\le 2m\le 4\iff 0\le m\le 2$.
Vậy $m\in [0;2]$.