Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\le m$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Đặt $f(x)={\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x$.
Bất phương trình ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\le m,\forall x\in \mathbb{R}⟺{\max }_{\mathbb{R}}f(x)\le m$.
Ta có ${\sin }^{3}x\le {\sin }^{2}x$ và ${\cos }^{3}x\le {\cos }^{2}x$ với mọi $x$ (vì $\sin x,\cos x\le 1$).
Suy ra $f(x)\le {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1,\forall x$.
Mặt khác $f(0)={\sin }^{3}0+{\cos }^{3}0=1$, suy ra ${\max }_{\mathbb{R}}f(x)=1$.
Vậy điều kiện cần và đủ là $m\ge 1$. Chọn A.