Tính các giới hạn sau
1. $\underset{x\to 3}{\lim }(3x-1)$.
2. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+7}{x-1}$.
3. $\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}{\lim }(1-6x)$.
4. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-x-2}{x^2-2x}$.
5. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{1-x}$.
6. $\underset{x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2-x-3}{|2x-3|}$.
7. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2-7x-3\right)$.
8. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-5}{\sqrt{x^2-x+7}}$.
9. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x-2}+x\right)$.
10. $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{5x+1}{x-2}$.
11. $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{1-8x}{x-5}$.
12. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{7x+2}{x^2+2x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16 — Tính các giới hạn:

1. $\underset{x\to 3}{\lim }(3x-1)=3\cdot 3-1=8$.

2. Hàm số liên tục tại $x=-1$: $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+7}{x-1}=\frac{2(-1)+7}{-1-1}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.

3. $\underset{x\to (1/2{)}^{+}}{\lim }(1-6x)=1-6\cdot \frac{1}{2}=-2$.

4. $\frac{x^2-x-2}{x^2-2x}=\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)}=\frac{x+1}{x}$ với $x\ne 2$, nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+1}{x}=\frac{3}{2}$.

5. Dạng $\frac{0}{0}$. Nhân liên hợp:
$$\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{1-x}=\frac{3x+1-4x^2}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{(4x+1)(1-x)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{4x+1}{\sqrt{3x+1}+2x}.$$
Vậy giới hạn bằng $\frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

6. Với $x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-}$ thì $2x-3<0$ nên $|2x-3|=3-2x$. Mà $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$, do đó
$$\frac{(2x-3)(x+1)}{3-2x}=-(x+1)\to -\frac{5}{2}.$$

7. $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-7x-3)=+\infty$ (bậc chẵn, hệ số dương).

8. Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2-x+7}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}$, nên
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-5}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}}=\frac{3}{-1}=-3.$$

9. Nhân liên hợp:
$$\sqrt{x^2+6x-2}+x=\frac{6x-2}{\sqrt{x^2+6x-2}-x}=\frac{6x-2}{-x\sqrt{1+\frac{6}{x}-\frac{2}{x^2}}-x}\to \frac{6x}{-2x}=-3.$$

10. Khi $x\to 2^{+}$: tử số $\to 11>0$, mẫu số $x-2\to 0^{+}$, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{5x+1}{x-2}=+\infty$.

11. Khi $x\to 5^{-}$: tử số $1-8x\to -39<0$, mẫu số $x-5\to 0^{-}$, nên giới hạn bằng $+\infty$.

12. $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\to 0^{+}$ khi $x\to -1$, tử số $7x+2\to -5<0$, nên $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{7x+2}{(x+1{)}^2}=-\infty$.