Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x^4-\frac{x^3}{3}+2\sqrt{x}-3$;

b) $y=\frac{x^2+x}{x-2}$;

c) $y=\sqrt{3x^2-2x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1 (trang 24, Phần II. Tự luận). Tính đạo hàm:

a) $y=x^4-\frac{x^3}{3}+2\sqrt{x}-3$ (xác định với $x\ge 0$, đạo hàm với $x>0$):
$$y^{\prime }=4x^3-x^2+2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=4x^3-x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

b) $y=\frac{x^2+x}{x-2}$ (với $x\ne 2$), dùng công thức $(u/v{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$:
$$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)\cdot 1}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2{)}^2}.$$

c) $y=\sqrt{3x^2-2x+1}$. Vì $3x^2-2x+1=3(x-\frac{1}{3}{)}^2+\frac{2}{3}>0$ với mọi $x$, hàm xác định trên $\mathbb{R}$:
$$y^{\prime }=\frac{6x-2}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}.$$

Kiểm tra lại: kết quả phần b) khớp với đáp án AI đã cung cấp; các phần a), c) đều đúng theo quy tắc đạo hàm cơ bản.