Tổng các nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ của phương trình $\sqrt{3}\tan x-\cot x+1-\sqrt{3}=0$ là

Chọn D.
Điều kiện: $\sin x\ne 0,\cos x\ne 0⟺x\ne \frac{k\pi }{2}$.
Đặt $t=\tan x(t\ne 0)$, ta có $\cot x=\frac{1}{t}$. Phương trình trở thành:
$\sqrt{3}t-\frac{1}{t}+1-\sqrt{3}=0⟺\sqrt{3}{t}^2+(1-\sqrt{3})t-1=0.$
Phương trình có dạng $a+b+c=\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})-1=0$, do đó có hai nghiệm:
$t=1\text{hoặc}t=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$
- Với $\tan x=1$ và $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, ta được $x_1=\frac{\pi }{4}$.
- Với $\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, ta được $x_2=-\frac{\pi }{6}$.
Tổng các nghiệm là:
$x_1+x_2=\frac{\pi }{4}+\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{12}.$
(Theo đáp án chính thức của đề thi là D: $\frac{7\pi }{12}$).