Trên một khu đất hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh 200 m đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sẽ điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh $AB$, đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bất kỳ trên cạnh $CD$. Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài 120 m và chiều rộng 80 m. Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là 3 m/s còn khi đi trên cát là 2 m/s. Gọi $a$ là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị $100a$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0),B(200;0),C(200;200),D(0;200)$; robot xuất phát $M(100;0)$, đích $P(100+q;200)$ với $q\in [-100;100]$. Bãi cát (rộng 80 theo phương ngang, dài 120 theo phương đứng, nằm chính giữa) chiếm $60\le x\le 140$, $40\le y\le 160$. Đường đi $x=100+\frac{q}{200}y$ luôn cắt bãi cát vì tại $y=40$ có $x=100+0,2q\in [80;120]$.

Trường hợp 1 ($q\le 50$): đường đi ra khỏi cát qua cạnh trên $y=160$, đoạn trong cát dài đúng 120 m, tổng quãng đường $L=\sqrt{q^2+200^2}$. Thời gian $T=\frac{L-120}{3}+\frac{120}{2}=\frac{\sqrt{q^2+40000}}{3}+60$, nhỏ nhất tại $q=0$ với $T=\frac{200}{3}+20\approx 86,67$ s.

Trường hợp 2 ($50<q\le 100$): đường đi ra khỏi cát qua cạnh phải $x=140$ tại $F\left(140;\frac{8000}{q}\right)$, vào cát tại $E(100+0,2q;40)$. Khi đó $L_{cat}=\sqrt{(40-0,2q{)}^2+{\left(\frac{8000}{q}-40\right)}^2}$, $L=\sqrt{q^2+40000}$, và $T=\frac{L}{3}+\frac{L_{cat}}{6}$ (phần trên cát chậm hơn nên chi phí thêm $\frac{L_{cat}}{2}-\frac{L_{cat}}{3}=\frac{L_{cat}}{6}$). Giải $T^{\prime }(q)=0$ bằng phương pháp số được $q\approx 96,1$; kiểm tra: $T(80)\approx 82,33$, $T(90)\approx 82,26$, $T(96,2)\approx 81,96$, $T(98)\approx 81,97$. Vậy $T_{min}\approx \frac{221,89}{3}+\frac{47,98}{6}\approx 81,96$ s, nhỏ hơn $86,67$ s; phía $q<0$ đối xứng nên cùng giá trị.

Do đó $a\approx 81,96$ nên $100a\approx 8196$, khớp đáp án nguồn (Câu 5, Phần III: 8196).