Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-2az+b^2-2b=0$, ($a,b$ là các tham số thực). Gọi $S$ là tập các cặp $(a;b)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm $z_1,z_2$ thỏa mãn $3z_1+2i{z}_2=3+6i$. Số phần tử thuộc $S$ bằng

Xét hai trường hợp: TH1: Phương trình có hai nghiệm thực $z_1,z_2$. Từ $3z_1+2i{z}_2=3+6i\Rightarrow z_1=1,z_2=3$. Theo Vi-ét: $2a=4\Rightarrow a=2$ và $b^2-2b=3\Rightarrow b=-1$ hoặc $b=3$ (thỏa mãn ${\Delta }^{\prime }=a^2-(b^2-2b)=1>0$), cho $2$ cặp $(a;b)$. TH2: Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1=a+mi,z_2=a-mi$ $(m\ne 0)$. Thay vào $3(a+mi)+2i(a-mi)=3+6i\iff (3a+2m)+(2a+3m)i=3+6i\iff a=-\frac{3}{5},m=\frac{12}{5}$. Khi đó $b^2-2b=a^2+m^2=\frac{153}{25}$ có $2$ nghiệm thực $b$ phân biệt, cho thêm $2$ cặp $(a;b)$. Vậy có tất cả $4$ cặp $(a;b)$.