Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

(AI giải đề cho tôi)
a) Với mọi $n\in \mathbb{N}$, xét $n$ chia cho 3 có ba trường hợp: $n=3k$ thì $n^2+1=9k^2+1$ dư 1; $n=3k+1$ thì $n^2+1=9k^2+6k+2$ dư 2; $n=3k+2$ thì $n^2+1=9k^2+12k+5$ dư 2. Vậy $n^2+1$ không bao giờ chia hết cho 3, mệnh đề đúng.
b) $|x|<3\iff -3<x<3$, còn $x<3$ chỉ là điều kiện cần chứ không đủ (ví dụ $x=-4$: $x<3$ nhưng $|x|=4\ge 3$). Vậy hai vế không tương đương, mệnh đề sai.
c) Với $x=1$: $(x-1{)}^2=0=x-1$, nên khẳng định $(x-1{)}^2\ne x-1$ với mọi $x$ là sai.
d) Nếu $n$ chẵn, $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; nếu $n$ lẻ, $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Vậy $n^2+1$ không bao giờ chia hết cho 4, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xét $n$ theo modulo 3: $n^2+1$ có số dư lần lượt là 1, 2, 2 nên không bao giờ chia hết cho 3. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|x|<3\iff -3<x<3$, trong khi $x<3$ rộng hơn (ví dụ $x=-4$ thỏa $x<3$ nhưng $|x|=4\ge 3$). Hai mệnh đề không tương đương, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$ ta có $(x-1{)}^2=0=x-1$, nên khẳng định đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $n$ chẵn thì $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; nếu $n$ lẻ thì $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Không tồn tại $n$ để $n^2+1$ chia hết cho 4, mệnh đề sai.