Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho $\Delta ABC$ có $A(3;4),B(2;1),C(-1;-2)$. Tìm điểm $M$ có tung độ dương trên đường thẳng $BC$ sao cho diện tích $\Delta ABC$ gấp 3 lần diện tích $\Delta ABM$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng BC qua B(2;1), C(-1;-2) có phương trình y = x - 1. Gọi M(t; t-1) với t-1>0, tức t>1. Diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|$ với $\overrightarrow{AB}=(-1;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(-4;-6)$, tích có hướng $=(-1)(-6)-(-3)(-4)=6-12=-6$, nên $S_{ABC}=3$. Diện tích tam giác ABM: $\overrightarrow{AM}=(t-3;t-5)$, tích có hướng với $\overrightarrow{AB}$: $(-1)(t-5)-(-3)(t-3)=2t-4$, nên $S_{ABM}=\frac{1}{2}|2t-4|=|t-2|$. Điều kiện $S_{ABC}=3S_{ABM}$: $3=3|t-2|\Rightarrow |t-2|=1\Rightarrow t=3$ hoặc $t=1$. Vì $t>1$ nên $t=3$, khi đó $M(3;2)$ (thỏa mãn tung độ dương và nằm trên BC vì $2=3-1$). Vậy $M(3;2)$.