Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=4,AD=3$ và điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$. Định $k$ để hai đường thẳng $AC$ và $DM$ vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0)$, $B(4;0)$, $D(0;3)$, $C(4;3)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(4;3)$ và $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}=(4k;0)$ nên $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=(4k;-3)$. Hai đường thẳng $AC$ và $DM$ vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0$, tức $4\cdot 4k+3\cdot (-3)=16k-9=0$, suy ra $k=\frac{9}{16}$. Kiểm tra lại bằng vectơ: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DM}=k\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=k|\overrightarrow{AB}{|}^2+(k-1)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-|\overrightarrow{AD}{|}^2=16k-9=0$ (do $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$), cho cùng kết quả $k=\frac{9}{16}$. Vậy $k=\frac{9}{16}$.