Trong hệ trục $Oxy$ đường biên của một Hòn đảo được mô hình hóa bởi hàm số: $f(x)=\frac{-x^2+10x-12}{x}(x>0)$ (đơn vị mỗi trục là $100m$). Ban quản lý Hòn Đảo muốn quây một vùng tam giác an toàn để người dân có thể vui chơi và tắm biển ở khu vực đó. Đặt cố định một điểm ngoài biển tại tọa độ $I(2;8)$ sau đó căng 2 tấm lưới bảo vệ $IA,IB$ với hai điểm $A,B(x_A>x_B>0)$ nằm trên đường biên và luôn thỏa mãn $AB\parallel Ox$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=-x+10-\frac{12}{x}$ với $x>0$ (mỗi đơn vị trục là $100m$).

a) $f^{\prime }(x)=-1+\frac{12}{x^2}=0\Rightarrow x=2\sqrt{3}$, $f(2\sqrt{3})=10-4\sqrt{3}\approx 3,0718$. Đỉnh cao nhất là $C(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$. Khoảng cách $IC=\sqrt{(2\sqrt{3}-2{)}^2+(2-4\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4(\sqrt{3}-1{)}^2+4(1-2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{26,43}\approx 5,1415$ đơn vị $\approx 514m$. Đúng.

b) Với $x\ne 0$: $f(x)+f(-x)=\left(-x+10-\frac{12}{x}\right)+\left(x+10+\frac{12}{x}\right)=20$, nên đồ thị nhận điểm $M(0;10)$ làm tâm đối xứng. Đúng.

c) Khoảng cách từ $I(2;8)$ đến điểm $(x;f(x))$ trên đường biên: $d^2(x)=(x-2{)}^2+{\left(2-x-\frac{12}{x}\right)}^2$. Khảo sát (đạo hàm, thử nghiệm) cho giá trị nhỏ nhất tại $x\approx 3,13$ với $d\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509m$, không phải $510m$. Sai.

d) Dây phao $AB\parallel Ox$ tại $y=t$: phương trình $-x+10-\frac{12}{x}=t\iff x^2-(10-t)x+12=0$ có hai nghiệm $x_B<x_A$, tích bằng 12, tổng $10-t$. Chiều dài $AB=x_A-x_B=\sqrt{(10-t{)}^2-48}$. Khoảng cách từ $I(2;8)$ đến đường thẳng $y=t$ là $8-t$ (với $t<8$). Điều kiện $8-t=AB$: đặt $L=8-t$ thì $10-t=L+2$, nên $(L+2{)}^2-48=L^2\Rightarrow 4L-44=0\Rightarrow L=11$. Vậy $AB=11$, diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị diện tích $=605000m^2$. Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn (mã đề 611, Câu 2: a)Đ - b)Đ - c)S - d)Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại $C(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$, $IC\approx 5,1415$ đơn vị $\approx 514m$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)+f(-x)=20$ với mọi $x\ne 0$, tâm đối xứng $M(0;10)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách ngắn nhất từ $I$ đến đường biên $\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509m$, không phải $510m$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $8-t=AB$ cho $L=11$, $S=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị $=605000m^2$. Đúng.