Trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ cho điểm $A(0;0;1)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-4z+3=0$. Gọi $M,N$ là hai điểm trên mặt cầu $(S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với tia $Oz$ và $MN=4$. Gọi $E$ là điểm nằm trên đoạn $MN$. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AE$ bằng

Chọn D.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;0;2)$ và bán kính $R=\sqrt{2^2+0^2+2^2-3}=\sqrt{5}$.
Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng tia $Oz$ nên $MN$ song song với trục $Oz$.
Độ dài $MN=4$. Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $MN$ là $d=\sqrt{R^2-(MN/2{)}^2}=\sqrt{5-4}=1$.
Gọi $H$ là trung điểm $MN$, $H$ có cao độ $z_H=z_I=2$. Do đó điểm $E$ trên đoạn $MN$ thỏa mãn khoảng cách đến tia $Oz$ và cao độ biến thiên.
Tính toán khoảng cách từ $A(0;0;1)$ đến $E$, ta thu được $A{E}_{\max }=3\sqrt{2}$ và $A{E}_{\min }=1$. Tổng $A{E}_{\max }+A{E}_{\min }=1+3\sqrt{2}$.