Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, có bao nhiêu điểm $M$ trên trục hoành có hoành độ nguyên sao cho từ $M$ kẻ được hai tiếp tuyến đến mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=1$ và song song với $(Q):2x+y+2z=0$?

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=1$. Điểm $M(m;0;0)\in Ox$. Mặt phẳng $(P)$ chứa hai tiếp tuyến từ $M$ song song với $(Q)$ nên $(P)$ có dạng $2x+y+2z+d=0$. Vì $M\in (P)$ nên $2m+d=0\Rightarrow d=-2m$, do đó $(P):2x+y+2z-2m=0$. Do $(P)$ không trùng $(Q)$ nên $m\ne 0$.
Để từ $M$ kẻ được hai tiếp tuyến đến $(S)$ trong mặt phẳng $(P)$, $(P)$ phải cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn, tức là khoảng cách $d(I,(P))<R$ và $M$ nằm ngoài mặt cầu:
$d(I,(P))=\frac{|2(1)+2+2(-3)-2m|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{|-2m-2|}{3}<1\iff |-2m-2|<3\iff -\frac{5}{2}<m<\frac{1}{2}.$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\ne 0$, ta có $m\in \{-2;-1\}$. Thử lại với $m=-2$ và $m=-1$ thì $IM>R$ đều thỏa mãn. Vậy có 2 điểm $M$ thỏa mãn. Chọn đáp án D.