Trong Hình 3, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và có hai cạnh góc vuông là $AB=4,BC=3$. Vẽ điểm $D$ nằm trên tia đối của tia $CB$ thỏa mãn $\widehat{CAD}=30^{\circ }$. Tính $\tan \widehat{BAD}$, từ đó tính độ dài cạnh $CD$.

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]
Hình 3

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=4$, $BC=3$ nên $\tan \widehat{BAC}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$.

Vì $D$ nằm trên tia đối của tia $CB$ (theo Hình 3, $B$ nằm giữa $C$ và $D$), ta có $\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+30^{\circ }$.

Áp dụng công thức tang của tổng hai góc:
$$\tan \widehat{BAD}=\tan (\widehat{BAC}+30^{\circ })=\frac{\tan \widehat{BAC}+\tan 30^{\circ }}{1-\tan \widehat{BAC}\cdot \tan 30^{\circ }}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{3}{4\sqrt{3}}}.$$

Nhân tử và mẫu với $4\sqrt{3}$:
$$\tan \widehat{BAD}=\frac{3\sqrt{3}+4}{4\sqrt{3}-3}=\frac{(3\sqrt{3}+4)(4\sqrt{3}+3)}{(4\sqrt{3}-3)(4\sqrt{3}+3)}=\frac{36+9\sqrt{3}+16\sqrt{3}+12}{48-9}=\frac{48+25\sqrt{3}}{39}.$$

Trong tam giác vuông $ABD$ (vuông tại $B$): $BD=AB\cdot \tan \widehat{BAD}=4\cdot \frac{48+25\sqrt{3}}{39}=\frac{192+100\sqrt{3}}{39}$.

Vì $B$ nằm giữa $C$ và $D$ nên:
$$CD=BD-BC=\frac{192+100\sqrt{3}}{39}-3=\frac{75+100\sqrt{3}}{39}=\frac{25(3+4\sqrt{3})}{39}\approx 6,37.$$

Kết luận: $\tan \widehat{BAD}=\frac{48+25\sqrt{3}}{39}$ và $CD=\frac{25(3+4\sqrt{3})}{39}\approx 6,37$ (đơn vị độ dài).