Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;2;-1)$, $B(-3;1;3)$, $C(2;4;6)$, $D(-9;-3;-1)$. $M$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T={\left(\frac{MA}{MD}\right)}^2+{\left(\frac{2MB}{MD}\right)}^2-{\left(\frac{MC\sqrt{3}}{MD}\right)}^2$$

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=6$, $AD=9$. Lấy M là trung điểm của CD, N thuộc cạnh BC sao cho NB = 2NC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và MN bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Câu 3. Bạn Bình đồ bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm (tiếp xúc) với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó (khi đó khoảng cách từ tâm quả bóng đến hai bức tường và nền nhà đều bằng bán kính của quả bóng) thì có một điểm M trên quả bóng với khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm và 21 cm (Hình bên dưới). Tính đường kính của quả bóng rổ đó, biết rằng loại bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm (kết quả làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị là cm).

Sân khấu của một chương trình biểu diễn nghệ thuật như hình vẽ dưới đây. Mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng nghiêng về phía khán giả. Biết $AB$, $AD$, $AH$ đôi một vuông góc nhau và $AB=6m$, $AD=8m$, $AH=1m$. Gọi $C$ là điểm sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi đó mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng đi qua 3 điểm $B,C,H$. Tại điểm $D$, người ta dựng một cột thẳng đứng $DE$ vuông góc với mặt đất, có chiều cao $8m$. Trong một buổi biểu diễn nghệ thuật, một nghệ sĩ ngồi trên ghế treo được gắn vào dây cáp thẳng nối từ điểm $B$ đến điểm $E$ và trượt dọc theo sợi dây này. Khi ghế di chuyển được $\frac{3}{4}$ quãng đường từ $B$ đến $E$ thì dừng lại tại điểm $M$. Hãy tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt sân khấu (kết quả tính làm tròn đến hàng phần mười của đơn vị mét).

(1 điểm) Trong một công viên nước, người ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 1 mét) để mô tả các vật thể trong không gian.

Một vòi phun nước được đặt tại điểm $M(-2;3;1)$, phun tia nước theo hướng có vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;2;3)$. Biết rằng tia nước được xem như chuyển động theo một đường thẳng. Để phục vụ trình diễn, phía trước vòi phun có một màn nước dạng phẳng (được xem như một mặt phẳng) được mô tả bởi phương trình $(\alpha ):2x-3y+z+14=0$. Gọi $N$ là điểm tia nước chạm vào màn nước. Hãy tính khoảng cách từ điểm đặt vòi phun đến điểm tia nước chạm vào màn nước (kết quả tính được làm tròn đến hàng phần mười của mét).

Sân khấu của một chương trình biểu diễn nghệ thuật như hình vẽ dưới đây. Mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng nghiêng về phía khán giả. Biết $AB,AD,AH$ đôi một vuông góc nhau và $AB=8m$, $AD=10m$, $AH=1m$. Gọi C là điểm sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi đó mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng đi qua 3 điểm $B,C,H$. Tại điểm $D$, người ta dựng một cột thẳng đứng $DE$ vuông góc với mặt đất, có chiều cao $10m$. Trong một buổi biểu diễn nghệ thuật, một nghệ sĩ ngồi trên ghế treo được gắn vào dây cáp thẳng nối từ điểm $B$ đến điểm $E$ và trượt dọc theo sợi dây này. Khi ghế di chuyển được $\frac{3}{4}$ quãng đường từ $B$ đến $E$ thì dừng lại tại điểm $M$. Hãy tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt sân khấu (kết quả tính làm tròn đến hàng phần mười của đơn vị mét).

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;0),B(0;1;1),C(2;-1;3)$.