Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(3;-1;4)$, $B(-2;3;3)$. Các điểm $M$, $N$ thay đổi sao cho $M$ luôn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và $\overrightarrow{MN}=(-2;-2;1)$.

a) Điểm đối xứng $A^{\prime }$ có tọa độ: $A^{\prime }(3,-1,-4)$.

b) Gọi $C(x,y,0)$. Ta có: $\overrightarrow{CA}+k\overrightarrow{CB}=\vec{0}$ suy ra theo tọa độ $z:4+k\cdot 3=0\Rightarrow k=-\frac{4}{3}$

c) Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{NM}=(2,2,-1)$, nên tọa độ $D(0,5,2)$ Khi đó: $a+b+c=7$.

d) Lấy điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{MN}$, khi đó tứ giác $EBNM$ là hình bình hành và $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{EM}$. Suy ra: $AM+MN+NB=AM+EM+EB$. Tổng $AM+EM$ nhỏ nhất khi $A^{\prime },M,E$ thẳng hàng, khi đó $AM+EM=A^{\prime }E=\sqrt{3^2+6^2+6^2}=9$. Do đó $AM+MN+N{B}_{min}=9+3=12$.
a) Điểm đối xứng $A^{\prime }$ có tọa độ: $A^{\prime }(3,-1,-4)$.
b) Gọi $C(x,y,0)$. Ta có: $\overrightarrow{CA}+k\overrightarrow{CB}=\vec{0}$ suy ra theo tọa độ $z:4+k\cdot 3=0\Rightarrow k=-\frac{4}{3}$
c) Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{NM}=(2,2,-1)$, nên tọa độ $D(0,5,2)$ Khi đó: $a+b+c=7$.
d) Lấy điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{MN}$, khi đó tứ giác $EBNM$ là hình bình hành và $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{EM}$. Suy ra: $AM+MN+NB=AM+EM+EB$. Tổng $AM+EM$ nhỏ nhất khi $A^{\prime },M,E$ thẳng hàng, khi đó $AM+EM=A^{\prime }E=\sqrt{3^2+6^2+6^2}=9$. Do đó $AM+MN+N{B}_{min}=9+3=12$.