Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(2;1;-3)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z+3=0$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (hình vẽ minh họa). Vecto nào sau là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$?

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(2;-1;3)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-2z+3=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-2y+z-5=0$ và điểm $A(2;-1;3)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $O,A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình dạng $5x+by+cz=0$. Tính giá trị của $bc$.

Trong một quảng trường, người ta gắn hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ (Mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng $1m$) để mô phỏng vị trí các công trình. Mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất của quảng trường, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên. Hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí $A(1;2;-1)$ và $B(-2;1;0)$. Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình $(P):x-2y+z+4=0$. Gọi tọa độ điểm đặt trụ đèn là $M(a;b;c)$. Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm $A$ và $B$ sao cho $MA=MB=\frac{\sqrt{11}}{2}$ (tham khảo hình vẽ dưới).



Tính giá trị của $2(a+b+c)$.

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ $(a^2+b^2+c^2>0)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z+1=0$ đi qua điểm nào dưới đây?