Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lập phương trình mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với trục $Oz$ nên phương trình dạng $ax+by+c=0$ (không có $z$). Loại A, C (có $z$). Kiểm tra B: $2x-y-3=0$ qua $M$: $2(1)-(-1)-3=0$ ✓; qua $N$: $2(2)-1-3=0$ ✓. D: $2(1)+1+5=8\ne 0$ loại.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục $Oz$ có dạng $ax+by=0$. Đi qua $M(1;2;1)$: $a+2b=0\Rightarrow a=-2b$, chọn $b=1$ được $-2x+y=0$, tức $2x-y=0$. Kiểm tra: điểm $M$ thỏa $2(1)-2=0$; trục $Oz$ (các điểm $(0;0;z)$) thỏa phương trình. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết (P): x/a + y/b + z/3 = 1 với A(a;0;0), B(0;b;0) (a,b>0 vì cắt tia Ox, Oy). (P) qua M(2;1;0): 2/a + 1/b = 1. Trọng tâm G của ABC: G = (a/3; b/3; 1). Vì mặt cầu tâm O tiếp xúc (P) tại G nên G là chân đường vuông góc hạ từ O xuống (P), tức G = n/|n|² với n = (1/a; 1/b; 1/3). Từ tọa độ z: 1 = (1/3)/|n|² ⟹ |n|² = 1/3. Từ tọa độ x: a/3 = (1/a)/(1/3) = 3/a ⟹ a² = 9 ⟹ a = 3; tương tự b = 3. Kiểm tra: 2/3 + 1/3 = 1 thỏa mãn. Vậy G(1;1;1) và K = 1 + 1 + 1 = 3.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vecto pháp tuyến của $(Q):x+2y-2z+4=0$ là $\overrightarrow{n_Q}=(1;2;-2)$, không phải $(1;-2;2)$ → Sai. b) $\overrightarrow{AB}=(-3;2;4)$, $|AB|=\sqrt{29}$. $\sin \alpha =\frac{|-3+4-8|}{\sqrt{29}\cdot 3}=\frac{7}{3\sqrt{29}}\approx 0,4333\Rightarrow \alpha \approx 25,7^{\circ }$ → Đúng. c) Thay $B(-2;2;3)$: $-2+4-6+4=0$ → Đúng. d) $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_Q}=(-3;2;4)\times (1;2;-2)=(-12;-2;-8)\parallel (6;1;4)$. Qua $A(1;0;-1)$: $6x+y+4z-2=0$ (kiểm tra $B$: $-12+2+12-2=0$) → Đúng. Khớp đáp án mã đề 1202: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_Q}=(1;2;-2)$ chứ không phải $(1;-2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{7}{3\sqrt{29}}\approx 0,4333\Rightarrow \alpha \approx 25,7^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-2+2\cdot 2-2\cdot 3+4=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_Q}\parallel (6;1;4)$, qua $A$ cho $6x+y+4z-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0 (bậc nhất theo $x,y,z$).
- A: $x^2-2y^2+z^2+2=0$ có các số hạng bậc hai, không phải mặt phẳng.
- B: $xy+z-2=0$ có số hạng $xy$ bậc hai, không phải mặt phẳng.
- C: $x^2-2yz-9=0$ có các số hạng bậc hai, không phải mặt phẳng.
- D: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-z+4=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=\frac{1}{3},B=\frac{1}{2},C=-1,D=4$), nên là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{DB}=B-D=(-7+2;11-6;-10+7)=(-5;5;-3)$. Mặt phẳng $(R)$ qua $C(8;0;4)$ có phương trình: $-5(x-8)+5(y-0)-3(z-4)=0\iff -5x+5y-3z+40+12=0\iff -5x+5y-3z+52=0$. Kết quả khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ là hằng số (bậc nhất theo $x,y,z$). Phương trình $2x-y^2+3z+7=0$ chứa $y^2$ (bậc hai), nên không phải phương trình tổng quát của mặt phẳng. Các phương trình B, C, D đều bậc nhất nên là phương trình mặt phẳng. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý: a) Trung điểm M của AB là (3;1;2), vecto pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là AB=(4;2;2), phương trình: 4(x-3)+2(y-1)+2(z-2)=0 ⟺ 2x+y+z-9=0. Đúng. b) d(A,(P))=|2·1-0+1-4|/√6=1/√6; d(B,(P))=|2·5-2+3-4|/√6=7/√6. Vậy d(A,(P))<d(B,(P)), ý b) Sai. c) Mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc (P) có pháp tuyến n vuông góc với AB=(4;2;2) và n_P=(2;-1;1): n=AB×n_P=(4;0;-8), chọn n=(1;0;-2). Qua A(1;0;1): x-2z+1=0 (thỏa cả B: 5-6+1=0). Đúng. d) AB=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2). Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã 1122, Phần 2 Câu 2: ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M(3;1;2), vecto pháp tuyến AB=(4;2;2), phương trình: 4(x-3)+2(y-1)+2(z-2)=0 ⟺ 2x+y+z-9=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P))=|2-0+1-4|/√6=1/√6 và d(B,(P))=|10-2+3-4|/√6=7/√6, nên d(A,(P))<d(B,(P)).
c) (AI giải đề cho tôi)
n=AB×n_P=(4;2;2)×(2;-1;1)=(4;0;-8)∼(1;0;-2), qua A(1;0;1): x-2z+1=0, kiểm tra B(5;2;3): 5-6+1=0 thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;-1;2)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(4;2;-6)$ có phương trình: $4(x-1)+2(y+1)-6(z-2)=0$, tức $4x+2y-6z+10=0$, chia hai vế cho 2 được $2x+y-3z+5=0$. Thử lại với $A$: $2(1)+(-1)-3(2)+5=2-1-6+5=0$ đúng. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1121, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (Q) song song với (P): $x-2y+5z-8=0$ nên có dạng $x-2y+5z+d=0$. Vì (Q) đi qua $A(-1;2;3)$: $-1-2(2)+5(3)+d=0\Rightarrow -1-4+15+d=0\Rightarrow d=-10$. Vậy (Q): $x-2y+5z-10=0$, trùng với đáp án B in đậm trong đề gốc.

Xét vị trí tương đối của 5 điểm:
Mặt phẳng qua 3 điểm $B,C,D$ có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1\iff 6x+3y+2z-6=0$.
Thay tọa độ $A(-12;-1;1)$ vào: $6(-12)+3(-1)+2(1)-6=-72-3+2-6=-79\ne 0$.
Thay tọa độ $E(-2;4;3)$ vào: $6(-2)+3(4)+2(3)-6=-12+12+6-6=0⟹E$ nằm trên mặt phẳng $(BCD)$.
Do 4 điểm $B,C,D,E$ đồng phẳng tạo thành một tứ giác và điểm $A$ không nằm trong mặt phẳng đó (hình chóp đáy là tứ giác), số mặt phẳng cách đều đỉnh $A$ và 4 đỉnh đáy là mặt phẳng song song với đáy và cách đều $A$ với đáy, cùng các mặt phẳng đi qua trung điểm của các cạnh bên... Kết hợp xét các trường hợp phân hoạch điểm ta có đúng 3 mặt phẳng cách đều 5 điểm.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;2),{\vec{n}}_P=(1;-3;2)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},{\vec{n}}_P]=(0;8;12)=4(0;2;3)$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(2;4;1)$ là $2(y-4)+3(z-1)=0\iff 2y+3z-11=0$.

Đường thẳng $d_1$ đi qua $A(2;1;0)$, VTCP ${\vec{u}}_1=(1;-1;2)$. Đường thẳng $d_2$ đi qua $B(2;3;0)$, VTCP ${\vec{u}}_2=(-1;0;1)$.
VTPT của mặt phẳng $(P)$ cùng phương với $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=(-1;-3;-1)=-(1;3;1)$. Chọn $\vec{n}=(1;3;1)$.
Phương trình $(P)$ có dạng $x+3y+z+D=0$.
Vì $(P)$ cách đều $d_1$ và $d_2$ và nằm giữa hai đường thẳng nên $D=-\frac{(x_A+3y_A+z_A)+(x_B+3y_B+z_B)}{2}=-\frac{(2+3+0)+(2+9+0)}{2}=-8$.
Vậy phương trình $(P)$ là $x+3y+z-8=0$.

Mặt phẳng đi qua $M(3;-1;2)$ và song song với $(\alpha )$ có phương trình $3(x-3)-(y+1)+(z-2)=0⟺3x-y+z-12=0$. Chọn C.

Phương trình $(P):2(x-1)-(y-1)+z=0\iff 2x-y+z-1=0$. Thay $A(5;-1;2)$ vào được $2(5)-(-1)+2-1=12\ne 0$, nên $A\notin (P)$. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-3;-2)$, $\overrightarrow{CD}=(1;2;-2)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}]=(10;-4;1)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $10(x-2)-4(y-1)+(z-3)=0\iff 10x-4y+z-19=0$.

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $(P)$ và $(d)$. Khi đó $MH\le MK$.
Khoảng cách lớn nhất bằng $MK$ khi $H\equiv K$, tức mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $MK$.
Đường thẳng $(d):\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2t\\ z=1+t\end{array}$. Điểm $K\in d\Rightarrow K(1+2t;2t;1+t)$.
Ta có $\overrightarrow{MK}=(2t-1;2t;t-2)$, ${\vec{u}}_d=(2;2;1)$.
$MK\perp d\iff \overrightarrow{MK}\cdot {\vec{u}}_d=0\iff 2(2t-1)+2(2t)+1(t-2)=0\iff 9t=4\iff t=\frac{4}{9}$.
Suy ra $\overrightarrow{MK}=\left(-\frac{1}{9};\frac{8}{9};-\frac{14}{9}\right)=-\frac{1}{9}(1;-8;14)$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;0;1)\in d$ và nhận $\vec{n}=(1;-8;14)$ làm vectơ pháp tuyến:
$1(x-1)-8(y-0)+14(z-1)=0\iff x-8y+14z-15=0$. Chọn A.

Chọn A.
Đường thẳng $d_1$ đi qua $M_1(1;-1;1)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(-2;1;2)$.
Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(1;-3;2)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1,d_2$ có một vectơ pháp tuyến là:
$\vec{n}=[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=(8;6;5).$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M_1(1;-1;1)$ là:
$8(x-1)+6(y+1)+5(z-1)=0⟺8x+6y+5z-7=0⟺-8x-6y-5z+7=0.$
Suy ra $a=-8,b=-6,c=-5$. Vậy $S=a-3b+c=-8-3(-6)-5=5$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;-3;-4)$, suy ra $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-8;8;-4)=-4(2;-2;1)$. Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(0;1;1)$ có phương trình $2x-2(y-1)+(z-1)=0\iff 2x-2y+z+1=0$.
a) Đúng vì mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-1)$, bán kính $R=2$, khoảng cách $d(I,(ABC))=\frac{|2-0-1+1|}{3}=\frac{2}{3}$, nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-\frac{4}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
b) Sai vì phương trình $(ABC)$ là $2x-2y+z+1=0$.
c) Đúng vì $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$.
d) Sai vì trọng tâm $G\left(0;-\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right)$ có $a+b+c=-2$.

Gọi $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Do mặt phẳng $(P)$ đi qua $2$ điểm $M(-1;0;3),N(1;-1;-2)$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $(Q):2x+y+z-2022=0$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}\vec{n}\perp \overrightarrow{MN}(2;-1;-5)\\ \vec{n}\perp {\vec{n}}_Q(2;1;1)\end{array}⟹\vec{n}=[\overrightarrow{MN},{\vec{n}}_Q]=(4;-12;4).$

Chọn ${\vec{n}}_1=(1;-3;1)$ là VTPT của $(P)$.

Khi đó $(P)$ đi qua $M$ và có VTPT ${\vec{n}}_1$ nên có phương trình: $x-3y+z-2=0$.