Nếu $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=6$ thì $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[\frac{1}{2}f(x)+2\right]\mathrm{d}x$ bằng?

Cho các hàm số $f(x)$ và $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in \mathbb{R}$.

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z+7=0$, điểm $A(6;9;5)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{5}=\frac{z+5}{3}$.

Mực nước trong hồ chứa của nhà máy điện thủy triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra khi thủy triều xuống và nước chảy vào khi thủy triều lên. Tốc độ thay đổi của mực nước được xác định bởi hàm số $h^{\prime }(t)=\frac{1}{90}\left(t^2-17t+60\right)$ trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 24)$ và $h^{\prime }(t)$ tính bằng mét/giờ. Tại thời điểm $t=0$, mực nước trong hồ chứa cao 8 mét. Hỏi tại thời điểm $t=6$, mực nước trong hồ chứa cao bao nhiêu mét?

Khi gắn hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là km) vào một sân bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(1;-5;7)$ đến vị trí $B(6;5;4)$ và hạ cánh tại vị trí $M(a;b;0)$. Giá trị của $5a+5b$ là bao nhiêu?

Tính tích phân $P={\int }_1^{25}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\mathrm{d}x$.

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho điểm $I(3;-6;-2)$. Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm $I$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x+7}{15}=\frac{y+1}{-11}=\frac{z}{37}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(2;1;0)$, $C(0;0;3)$ cắt các tia $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A$, $B$ sao cho tồn tại mặt cầu tâm $O$ tiếp xúc mặt phẳng $(P)$ tại trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết $G(x_0;y_0;z_0)$, tính giá trị của biểu thức $K=x_0^2+y_0^2+z_0^2$.