Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(2;1;0)$, $C(0;0;3)$ cắt các tia $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A$, $B$ sao cho tồn tại mặt cầu tâm $O$ tiếp xúc mặt phẳng $(P)$ tại trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết $G(x_0;y_0;z_0)$, tính giá trị của biểu thức $K=x_0^2+y_0^2+z_0^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết (P): x/a + y/b + z/3 = 1 với A(a;0;0), B(0;b;0) (a,b>0 vì cắt tia Ox, Oy). (P) qua M(2;1;0): 2/a + 1/b = 1. Trọng tâm G của ABC: G = (a/3; b/3; 1). Vì mặt cầu tâm O tiếp xúc (P) tại G nên G là chân đường vuông góc hạ từ O xuống (P), tức G = n/|n|² với n = (1/a; 1/b; 1/3). Từ tọa độ z: 1 = (1/3)/|n|² ⟹ |n|² = 1/3. Từ tọa độ x: a/3 = (1/a)/(1/3) = 3/a ⟹ a² = 9 ⟹ a = 3; tương tự b = 3. Kiểm tra: 2/3 + 1/3 = 1 thỏa mãn. Vậy G(1;1;1) và K = 1 + 1 + 1 = 3.