Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình tâm và bán kính mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(x+3{)}^2+(y-9{)}^2+(z+12{)}^2=5^2$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(-3;9;-12)$ và bán kính $R=5$. Vậy bán kính là 5, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Với $I(-3;0;4)$, $R=4$: $(x+3{)}^2+y^2+(z-4{)}^2=16$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: tâm A(2;0;1) nên phương trình phải là $(x-2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=1$ (đề viết $(x+2{)}^2$). b) Đúng: tâm $I$ là trung điểm $AB$ tức $I(1;-1;1)$, $R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{4+4+16}=\sqrt{6}$, nên $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=6$. c) Sai: thay vào $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$: điểm $(0;0;0)$ thỏa (0=0); điểm $(1;2;3)$ cho $1+4+9-2-8-18=-14\ne 0$ (không thuộc); điểm $(2;0;6)$ cho $4+36-4-36=0$ (thuộc). Vậy chỉ có 2 điểm nằm trên mặt cầu, không phải 3. d) Đúng: quả cầu nằm trên sàn $Oxy$ nên bán kính bằng khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng $Oxy$ là $z_I=50$; phương trình $(x-12{)}^2+(y-20{)}^2+(z-50{)}^2=50^2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm A(2;0;1), bán kính 1, phương trình đúng là $(x-2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=1$, không phải $(x+2{)}^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm AB: I(1;-1;1); $R=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+2^2+4^2}=\sqrt{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(0;0;0) và (2;0;6) thuộc mặt cầu, nhưng (1;2;3) cho giá trị $-14\ne 0$. Chỉ 2 điểm thuộc mặt cầu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính bằng khoảng cách từ I(12;20;50) tới mặt phẳng Oxy là 50, phương trình đúng như khẳng định.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình mặt cầu $x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z+1=0$, tâm $I=\left(-\frac{-4}{2};-\frac{-2}{2};-\frac{4}{2}\right)=(2;1;-2)$. Kiểm tra: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=4+1+4-1=8>0$, bán kính $R=2\sqrt{2}$, mặt cầu hợp lệ. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=9$ có tâm $I(1;-2;0)$, bán kính $R=3$ nên a) đúng. Thay $O(0;0;0)$: $1+4+0=5\ne 9$ nên $(S)$ không đi qua gốc tọa độ, b) sai. Với $M(1;-2;4)$: $IM=4>3$ nên $M$ nằm ngoài mặt cầu, c) sai. Trên trục $Oz$ ($x=y=0$): $1+4+z^2=9\Rightarrow z^2=4\Rightarrow z=\pm 2$, giao điểm $(0;0;2)$ và $(0;0;-2)$, d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(1;-2;0)$, $R=3$ đọc trực tiếp từ phương trình.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0;0)$: $1+4+0=5\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IM=4>3$ nên $M$ nằm ngoài mặt cầu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$1+4+z^2=9\Rightarrow z=\pm 2$, giao điểm $(0;0;\pm 2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình có dạng $x^2+y^2+z^2+2(m+2)x-2(m-1)z+3m^2-5=0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $R^2=(m+2{)}^2+(m-1{)}^2-(3m^2-5)>0$. Tính: $(m+2{)}^2+(m-1{)}^2-(3m^2-5)=m^2+4m+4+m^2-2m+1-3m^2+5=-m^2+2m+10>0$, tức $m^2-2m-10<0$, suy ra $1-\sqrt{11}<m<1+\sqrt{11}$, tức $-2,32<m<4,32$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$, gồm 7 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt cầu $(S):(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(z-10{)}^2=109$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ nên tâm $I(32;50;10)$ và bán kính $R=\sqrt{109}$ (mét).

b) Hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt sân $z=0$ là điểm $J$ có cùng hoành độ và tung độ với $I$, còn $z_J=0$, tức $J(32;50;0)$.

c) Vì $M\in (S)$ và $M$ nằm trên mặt phẳng $z=0$ nên tọa độ $M(x;y;0)$ thỏa mãn:
$$(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(0-10{)}^2=109\Rightarrow (x-32{)}^2+(y-50{)}^2=9.$$
Khoảng cách từ $M$ đến $J$:
$$MJ=\sqrt{(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{9}=3\text{ (m)}.$$
Vậy $MJ=3$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$. So sánh với $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=1$ ta được $a=2$, $b=2$, $c=-1$ (vì $z+1=z-(-1)$). Vậy tâm $I(2;2;-1)$, bán kính $R=1$. Khớp với đáp án B và bảng đáp án mã đề 1121 (câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(2-2{)}^2+(2+1{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Mặt cầu tâm $I(2;-1;0)$: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=25$. Đáp án D.

a) Đúng vì mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$.
b) Đúng vì bán kính $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2-(-2)}=\sqrt{16}=4$.
c) Sai vì $I{A}^2=(1-1{)}^2+(1+2{)}^2+(1-3{)}^2=13<R^2=16$, nên điểm $A$ nằm bên trong mặt cầu $(S)$.
d) Đúng vì đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(Q))}$. Do $d(I,(Q))\le IA=\sqrt{13}$ nên $r_{\min }=\sqrt{16-13}=\sqrt{3}$.

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $a=1,b=-2,c=3,d=5$.
Tâm $I(a;b;c)=I(1;-2;3)$.
Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2-5}=\sqrt{9}=3$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 15 chọn đáp án C.

Phương trình mặt cầu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$.
Từ $(x+2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=9$, ta có tâm $I(-2;0;1)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$.

Chọn đáp án C.

Chọn A.
Bán kính $R=IA=\sqrt{(3-5{)}^2+(-1-3{)}^2+(2-(-2){)}^2}=\sqrt{4+16+16}=6$.
Phương trình mặt cầu là $(x-5{)}^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=36$.

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm là trung điểm $I(0;3;2)$ của $AB$ và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(-2{)}^2+2^2+(-2{)}^2}}{2}=\sqrt{3}$. Phương trình mặt cầu là $x^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=3$.

Chọn C.
Gọi tọa độ tâm mặt cầu là $I(0;b;0)\in Oy$.
Vì mặt cầu đi qua hai điểm $A$ và $B$ nên $I{A}^2=I{B}^2$:
$\iff (1-0{)}^2+(2-b{)}^2+(-2-0{)}^2=(3-0{)}^2+(1-b{)}^2+(-1-0{)}^2$
$\iff 1+b^2-4b+4+4=9+b^2-2b+1+1$
$\iff b^2-4b+9=b^2-2b+11\iff -2b=2\iff b=-1$.
Suy ra tâm $I(0;-1;0)$.
Bán kính mặt cầu là $R^2=I{A}^2=1^2+(2-(-1){)}^2+(-2{)}^2=1+9+4=14$.
Vậy phương trình mặt cầu là $x^2+(y+1{)}^2+z^2=14$.

Mặt cầu $(S):(x-4{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=16$ có tâm $I(4;-2;3)$ và bán kính $R=4$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{0^2+1^2+(-1{)}^2-(-7)}=\sqrt{9}=3$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0171, trang 5): D.

Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=2$ có tâm $I(1;-2;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$.

a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-10\sqrt{3};0;30)$, bán kính $R=10\text{ m}$. Đúng.
b) Đường thẳng qua $I$ nhận $\vec{u}=(1;0;-\sqrt{3})$ làm VTCP có phương trình tham số như mệnh đề. Đúng.
c) Cho $z=0\Rightarrow 30-\sqrt{3}t=0\iff t=10\sqrt{3}\Rightarrow x=0$, nên $K(0;0;0)$. Sai.
d) Góc giữa tia nắng và mặt sân bằng $60^{\circ }$ ($\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$), nên elip hình chiếu có $b=R=10,a=\frac{R}{\sin 60^{\circ }}=\frac{20}{\sqrt{3}}\Rightarrow 2c=2\sqrt{a^2-b^2}=\frac{20}{\sqrt{3}}$. Đúng.

- Ý a) Đúng: Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-3;5;2)$ và bán kính $R=4$ có phương trình $(x+3{)}^2+(y-5{)}^2+(z-2{)}^2=16$.
- Ý b) Đúng: Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, bằng $2R=2\cdot 4=8\text{ km}$.
- Ý c) Sai: Ta có $IA=\sqrt{(-3+3{)}^2+(4-5{)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{2}\approx 1,414<4=R$, nên điểm $A$ nằm trong vùng phủ sóng và người dùng tại $A$ sử dụng được dịch vụ.
- Ý d) Sai: Khoảng cách từ tâm $I$ đến $B(2;6;2)$ là $IB=\sqrt{(2+3{)}^2+(6-5{)}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{26}\approx 5,099\text{ km}$. Khoảng cách ngắn nhất từ $B$ tới vùng phủ sóng là $d=IB-R=\sqrt{26}-4\approx 1,099\text{ km}\approx 1,1\text{ km}\ne 5,1\text{ km}$.