Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị như Hình 2. Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ là:



Hình 2

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của đường thẳng đi qua $A(-1;-1;1)$ và có một vecto chỉ phương $\vec{u}(1;2;3)$ là

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$ có đồ thị như Hình 1. Phát biểu nào sau đây là đúng?



Hình 1

Cho hàm số $y=f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=e^{3x}$. Phát biểu nào sau đây đúng?

Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y=x^3-3x^2-9x+5$ trên đoạn $[-2;2]$.

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y=10^x$?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-\infty </td><td></td><td>1</td><td></td><td>3</td><td></td><td>+\infty </td></tr><tr><td>f^{\prime }(x)</td><td></td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td></td></tr><tr><td>f(x)</td><td>+\infty </td><td>\searrow </td><td>-1</td><td>\nearrow </td><td>3</td><td>\searrow </td><td>-\infty </td></tr></tbody></table>$$

Số nghiệm của phương trình $3f(x)+1=0$ là

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6630 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6370 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(6;15;-2)$, sau một thời gian vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm $A(5;12;0)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;0;1)$ và $B(-2;2;3)$. Mặt phẳng $(P):x+2y-z-5=0$. Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Một vật đang chuyển động với tốc độ $v=20(\text{m/s})$ thì thay đổi vận tốc với độ lớn của gia tốc được tính theo thời gian $t$ là $a(t)=-4+2t({\text{m/s}}^2)$.

Một quả cầu được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả cầu tiếp xúc với cả 3 mặt phẳng (bao gồm 2 bức tường và nền nhà của căn phòng đó). Khi nối 3 điểm $A,B,C$ tương ứng thuộc 3 mặt phẳng của hình hộp ta được mặt phẳng $(ABC)$ cũng tiếp xúc với quả cầu, khoảng cách $A,B,C$ đến các mặt phẳng còn lại và hình ảnh thực tế của quả cầu được mô tả trong hình vẽ dưới đây. Tính bán kính của quả cầu theo đơn vị cm *(Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)*.

Một công ty kinh doanh bất động sản có 30 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu triệu đồng một tháng để thu được tổng số tiền lớn nhất? *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*.

Một vật chuyển động theo quy luật $s(t)=\frac{1}{3}{t}^3-\frac{3}{2}{t}^2+10t+2$ (với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s(t)$ (mét) là quãng đường chuyển động của chất điểm theo thời gian $t$ (giây)). Quãng đường mà vật đi được khi tốc độ đạt $28m/s$ bằng bao nhiêu? *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*.

Trong không gian $Oxyz$, gốc $O$ thuộc mặt phẳng nước biển, trục $Oz$ vuông góc với mặt phẳng nước biển và hướng lên phía trên, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 km. Một cabin cáp treo xuất phát từ nhà ga $A(0;-2;1)$ và chuyển động đều theo hướng của vectơ $\vec{u}=\left(1;-2;\frac{3}{4}\right)$ với tốc độ là 21,6 km/h. Biết nhà ga tiếp theo là $B$ có độ cao 1,5 km. Tính thời gian di chuyển của cabin từ nhà ga $A$ đến nhà ga $B$ *(kết quả tính theo đơn vị phút, làm tròn đến hàng đơn vị)*.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(-1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;1)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Độ dài đoạn thẳng $3OH$ bằng bao nhiêu?

*(Cặp cốc cà phê hoàn hảo)* Giả sử bạn có hai chiếc cốc cà phê $C_1$ và $C_2$ như hình minh họa, một chiếc phình ra ngoài và một chiếc lõm vào trong. Bạn nhận thấy rằng chúng có cùng chiều cao và hình dạng của chúng khớp nhau hoàn hảo. Bạn tự hỏi tỉ lệ thể tích của hai chiếc cốc $\frac{V_{C_1}}{V_{C_2}}$ bằng bao nhiêu? Tất nhiên, bạn có thể đổ đầy nước vào một chiếc cốc rồi rót sang chiếc còn lại để so sánh, nhưng với tư cách là một học sinh vừa học xong các ứng dụng của tích phân, bạn quyết định tiếp cận theo hướng toán học hơn. Bỏ qua phần tay cầm, coi độ dày của cốc không đáng kể, bạn nhận thấy rằng phần bên trong của cả hai chiếc cốc đều tạo bởi các mặt quay quanh trục.





Cụ thể, $C_1$ do hình phẳng $ABMIN$ quay quanh $AB$, $C_2$ do hình phẳng $DCMIN$ quay quanh $CD$. Biết rằng $ABCD$ là hình vuông cạnh $10$ cm, $M,N$ lần lượt thuộc hai cạnh $BC,AD$ sao cho $MN\parallel AB,BM=4$ cm. Điểm $K$ là trung điểm của $AB$ và $I$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Cung $\widehat{MIN}$ là một phần của parabol nhận $I$ là đỉnh. Tỉ số $\frac{V_{C_1}}{V_{C_2}}$ bằng $\frac{a}{b}$, trong đó $a,b\in \mathbb{N},\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$