*(Cặp cốc cà phê hoàn hảo)* Giả sử bạn có hai chiếc cốc cà phê và như hình minh họa, một chiếc phình ra ngoài và một chiếc lõm vào trong. Bạn nhận thấy rằng chúng có cùng chiều cao và hình dạng của chúng khớp nhau hoàn hảo. Bạn tự hỏi tỉ lệ thể tích của hai chiếc cốc bằng bao nhiêu? Tất nhiên, bạn có thể đổ đầy nước vào một chiếc cốc rồi rót sang chiếc còn lại để so sánh, nhưng với tư cách là một học sinh vừa học xong các ứng dụng của tích phân, bạn quyết định tiếp cận theo hướng toán học hơn. Bỏ qua phần tay cầm, coi độ dày của cốc không đáng kể, bạn nhận thấy rằng phần bên trong của cả hai chiếc cốc đều tạo bởi các mặt quay quanh trục.
Cụ thể, do hình phẳng quay quanh , do hình phẳng quay quanh . Biết rằng là hình vuông cạnh cm, lần lượt thuộc hai cạnh sao cho cm. Điểm là trung điểm của và là tâm của hình vuông . Cung là một phần của parabol nhận là đỉnh. Tỉ số bằng , trong đó là phân số tối giản. Tính
*(Cặp cốc cà phê hoàn hảo)* Giả sử bạn có hai chiếc cốc cà phê và như hình minh họa, một chiếc phình ra ngoài và một chiếc lõm vào trong. Bạn nhận thấy rằng chúng có cùng chiều cao và hình dạng của chúng khớp nhau hoàn hảo. Bạn tự hỏi tỉ lệ thể tích của hai chiếc cốc bằng bao nhiêu? Tất nhiên, bạn có thể đổ đầy nước vào một chiếc cốc rồi rót sang chiếc còn lại để so sánh, nhưng với tư cách là một học sinh vừa học xong các ứng dụng của tích phân, bạn quyết định tiếp cận theo hướng toán học hơn. Bỏ qua phần tay cầm, coi độ dày của cốc không đáng kể, bạn nhận thấy rằng phần bên trong của cả hai chiếc cốc đều tạo bởi các mặt quay quanh trục.
Cụ thể, do hình phẳng quay quanh , do hình phẳng quay quanh . Biết rằng là hình vuông cạnh cm, lần lượt thuộc hai cạnh sao cho cm. Điểm là trung điểm của và là tâm của hình vuông . Cung là một phần của parabol nhận là đỉnh. Tỉ số bằng , trong đó là phân số tối giản. Tính
Cụ thể, do hình phẳng quay quanh , do hình phẳng quay quanh . Biết rằng là hình vuông cạnh cm, lần lượt thuộc hai cạnh sao cho cm. Điểm là trung điểm của và là tâm của hình vuông . Cung là một phần của parabol nhận là đỉnh. Tỉ số bằng , trong đó là phân số tối giản. Tính
Đáp án chính thức: 189
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0), B(0,10), C(10,10), D(10,0); M(4,10), N(4,0), K(0,5), I(5,5). Parabol đỉnh I, trục ngang y=5, đi qua M, N: x = 5 − (y−5)²/25 (đúng vì tại y=0 hoặc 10, x=4). Đặt t = y−5, t∈[−5,5], bán kính quay theo trục AB (x=0) của C1 là r₁ = x = 5 − t²/25; theo trục CD (x=10) của C2 là r₂ = 10 − x = 5 + t²/25. V1/π = ∫₋₅⁵ (5 − t²/25)² dt = 2(125 − 50/3 + 1) = 656/3. V2/π = ∫₋₅⁵ (5 + t²/25)² dt = 2(125 + 50/3 + 1) = 856/3. Tỉ số V1/V2 = 656/856 = 82/107 (tối giản, 82=2·41, 107 nguyên tố). Vậy a+b = 82+107 = 189.
Chọn hệ trục: A(0,0), B(0,10), C(10,10), D(10,0); M(4,10), N(4,0), K(0,5), I(5,5). Parabol đỉnh I, trục ngang y=5, đi qua M, N: x = 5 − (y−5)²/25 (đúng vì tại y=0 hoặc 10, x=4). Đặt t = y−5, t∈[−5,5], bán kính quay theo trục AB (x=0) của C1 là r₁ = x = 5 − t²/25; theo trục CD (x=10) của C2 là r₂ = 10 − x = 5 + t²/25. V1/π = ∫₋₅⁵ (5 − t²/25)² dt = 2(125 − 50/3 + 1) = 656/3. V2/π = ∫₋₅⁵ (5 + t²/25)² dt = 2(125 + 50/3 + 1) = 856/3. Tỉ số V1/V2 = 656/856 = 82/107 (tối giản, 82=2·41, 107 nguyên tố). Vậy a+b = 82+107 = 189.