Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;2\right]$ và $f(0)-f(2)=2$. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx.$

Cho tích phân $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f(x)dx=16$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(2x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $(a<b)$ được tính theo công thức nào sau đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $(a<b)$; $V$ là thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Thể tích khối tròn xoay tạo được do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{x}{4}$; $y=0$; $x=1$ và $x=4$ quay quanh trục $Ox$ có giá trị bằng

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ và đi qua điểm $M(1;2;1)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+3t\\ z=2+t\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$, vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng $d$?

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t)=4t$ $(m/s)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được 6 giây thì ô tô gặp chướng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v_2(t)$ với gia tốc $a=-4\left(m/s^2\right)$ cho đến khi dừng hẳn.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ như hình vẽ dưới đây.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(2;-1;4\right)$ và phương trình mặt phẳng $\left(P\right):3x-2y+z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{x+3}{1}$.

Biết $F(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2+2x-6$. Khi đó giá trị biểu thức $P=a+b+c$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$, thỏa mãn ${\left(f^{\prime }(x)\right)}^2+4f(x)=8x^2+4$, $\forall x\in [0;1]$ và $f(1)=2$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{a}{b}$. Hãy tính giá trị $a+b$ (biết $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản).

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x=a(0<a<4)$ cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $M$ như hình vẽ bên. Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V=2V_1$. Khi đó giá trị $a$ bằng bao nhiêu?

Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=e^x$, $y=0$, $x=0$, $x=\ln 4$. Đường thẳng $x=k(0<k<\ln 4)$ chia hình $(H)$ thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ sau đây sao cho $S_1=2S_2$. Biết $k=\ln a$. Hãy tính giá trị của $a$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$. Giả sử $M\in (P)$ và $N\in (S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vecto $\vec{u}=(1;0;1)$ và khoảng cách giữa điểm $M$ và $N$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $MN$. (làm tròn đến hàng phần chục)