Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x=a(0<a<4)$ cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $M$ như hình vẽ bên. Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V=2V_1$. Khi đó giá trị $a$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi$. Tam giác $OMH$ có $O(0;0)$, $M(a;\sqrt{a})$, $H(4;0)$. Khi quay tam giác quanh trục $Ox$: trên $[0;a]$ bán kính là cạnh $OM$: $y=\frac{x}{\sqrt{a}}$, cho $\pi {\int }_0^a\frac{x^2}{a}dx=\frac{\pi a^2}{3}$; trên $[a;4]$ bán kính là cạnh $MH$: $y=\frac{\sqrt{a}(4-x)}{4-a}$, cho $\pi {\int }_a^4\frac{a(4-x{)}^2}{(4-a{)}^2}dx=\frac{\pi a(4-a)}{3}$. Vậy $V_1=\frac{\pi a^2}{3}+\frac{\pi a(4-a)}{3}=\frac{4\pi a}{3}$. Điều kiện $V=2V_1$: $8\pi =\frac{8\pi a}{3}\Rightarrow a=3$, thỏa $0<a<4$. Lưu ý: trường ghi "errors" trong dữ liệu nguồn là sai — đáp án $a=3$ hoàn toàn đúng và nằm trong khoảng cho phép; kết luận $16/3$ trong ghi chú đó không xuất hiện trong lời giải.