Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$. Giả sử $M\in (P)$ và $N\in (S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vecto $\vec{u}=(1;0;1)$ và khoảng cách giữa điểm $M$ và $N$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $MN$. (làm tròn đến hàng phần chục)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S)$: $x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$ có tâm $I(-1;2;1)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+1-5}=1$.
Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-2;2)$, $|\vec{n}|=3$; $|\vec{u}|=\sqrt{2}$.
$\vec{u}\cdot \vec{n}=1+0+2=3$, nên $\cos (\vec{u},\vec{n})=\frac{3}{\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, tức $\vec{u}$ không vuông góc với $(P)$ (không song song với $\vec{n}$).
Đặt $\vec{e}=\frac{\vec{u}}{\sqrt{2}}$ là vecto đơn vị cùng phương $\vec{u}$. Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\vec{u}$ nên $MN=\left|\overrightarrow{MN}\cdot \vec{e}\right|=\left|\overrightarrow{IN}\cdot \vec{e}+\overrightarrow{MI}\cdot \vec{e}\right|\le R+{\max }_{M\in (P)}\left|\overrightarrow{MI}\cdot \vec{e}\right|$.
Với $M\in (P)$, giá trị lớn nhất của $\left|\overrightarrow{MI}\cdot \vec{e}\right|$ bằng $\frac{d(I,(P))}{|\cos (\vec{u},\vec{n})|}$. Tính $d(I,(P))=\frac{|-1-4+2-3|}{3}=\frac{6}{3}=2$.
Vậy $M{N}_{\max }=1+\frac{2}{1/\sqrt{2}}=1+2\sqrt{2}\approx 3,8$. Giá trị này đạt được khi $N$ là điểm trên mặt cầu sao cho $\overrightarrow{IN}$ cùng hướng $\vec{e}$ và $M$ là giao của đường thẳng qua $I$ theo phương $\vec{u}$ với $(P)$ ở phía thích hợp.