Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;3;-1)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z-1=0$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $MN$ là

Đường thẳng qua $M(1;3;-1)$ vuông góc với $(P)$ có phương trình tham số:
$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3-2t\\ z=-1+2t\end{array}$.
Tọa độ hình chiếu $N$ thỏa mãn:
$(1+t)-2(3-2t)+2(-1+2t)-1=0\iff 9t-8=0\iff t=\frac{8}{9}$.
Suy ra $N\left(\frac{17}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9}\right)$.
Trung điểm $I$ của $MN$ ứng với tham số $t_I=\frac{t}{2}=\frac{4}{9}$, tức là $I\left(\frac{13}{9};\frac{19}{9};-\frac{1}{9}\right)$.
Mặt phẳng trung trực $(Q)$ của $MN$ song song với $(P)$ nên nhận $\vec{n}=(1;-2;2)$ làm VTPT và đi qua $I$:
$1\left(x-\frac{13}{9}\right)-2\left(y-\frac{19}{9}\right)+2\left(z+\frac{1}{9}\right)=0\iff x-2y+2z+\frac{-13+38+2}{9}=0\iff x-2y+2z+3=0$.