Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(3;1;9)$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-t\\ z=2+2t\end{array}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$.

a) Đúng vì phương trình mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$ có ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;1;-1)$.
b) Sai vì thay tọa độ $M(3;1;9)$ vào phương trình $d$: $t=3\Rightarrow y=-4\ne 1$, nên $M\notin d$.
c) Đúng vì điểm thuộc đường thẳng $d$ có tọa độ dạng tham số $(t;-1-t;2+2t)$.
d) Đúng vì gọi $A(t;-1-t;2+2t)=\Delta \cap d$. Khi đó $\overrightarrow{AM}=(3-t;2+t;7-2t)$. Vì $\Delta \parallel (\alpha )$ nên $\overrightarrow{AM}\cdot {\vec{n}}_{\alpha }=0\iff (3-t)+(2+t)-(7-2t)=0\iff 2t-2=0\iff t=1$. Suy ra $A(1;-2;4)$ và $\overrightarrow{AM}=(2;3;5)$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;-2;4)$ có vectơ chỉ phương $(2;3;5)$ là $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-4}{5}$.