Trong không gian $Oxyz$, tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=\frac{1}{4}$?

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}4$.

Nghiệm của phương trình $3^{2x-1}=27$ là:

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng?


Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=2$ và $u_6=-64$. Số hạng $u_3$ của cấp số nhân đã cho là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{2x+3}$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P):x+2y+z=0$. Mặt phẳng $(Q)$ qua $M$ và song song với $(P)$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(3;1;9)$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-t\\ z=2+2t\end{array}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$.

Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,4$ và khả năng thắng thầu của dự án 2 là $0,5$. Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là $0,3$.
Gọi $A$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”
Gọi $B$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.
Khi đó:

Cho hàm số $f(x)=\sin 2x-x$.

Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng nhanh dần đều với tốc độ $v(t)=5t$ (m/s); trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi ô tô bắt đầu chuyển động. Đi được $6$ (s) người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-5$ (m/s${}^2$).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$ bằng $60^{\circ }$. Khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SC$ bằng $\frac{a\sqrt{30}}{n}$. Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Một công ty vận tải cần giao hàng đến tất cả các thành phố $A,B,C,D,E$ (hình vẽ bên dưới). Chi phí di chuyển giữa các thành phố được mô tả trên hình. Xe giao hàng của công ty xuất phát từ một thành phố trong năm thành phố trên đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần sau đó trở lại thành phố ban đầu. Tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng.


Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là $17$ cm, $18$ cm, $21$ cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ $23$ cm đến $24,5$ cm? Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân.


Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=f(x)$ và $y=g(x)$ như Hình (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?


Một phần đường ray mô hình tàu lượn siêu tốc có dạng đồ thị hàm số bậc ba: $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, ($a\ne 0$). Trục $Ox$ mô tả quãng đường tàu di chuyển theo chiều ngang (tính bằng centimét), trục $Oy$ mô tả chiều cao của đường ray (tính bằng centimét) tại mỗi vị trí $x$. Chiều cao xuất phát là $50$ cm. Tàu xuống dưới mặt đất lần thứ nhất từ vị trí $x=20$ cm, tàu lên khỏi mặt đất ở vị trí $x=50$ cm và sau đó xuống dưới mặt đất lần thứ hai ở vị trí $x=100$ cm. Xét đồ thị của hàm số đã cho khi $x\in [0;100]$ như hình vẽ bên dưới:


Biết điểm cao nhất của đường ray khi tàu lên khỏi mặt đất và toạ độ điểm thấp nhất của đường ray khi tàu xuống dưới mặt đất lần lượt có hoành độ là $q$ và $p$. Tính $3p+q$.

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $2000$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).