Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(3;1;9)$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-t\\ z=2+2t\end{array}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$ → Đúng.
c) Điểm $A$ thuộc $d$ có tọa độ dạng $A(t;-1-t;2+2t)$ → Đúng.
b) $\overrightarrow{AM}=(3-t;1-(-1-t);9-(2+2t))=(3-t;2+t;7-2t)$. Điều kiện $AM\parallel (\alpha )$: $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0\iff (3-t)+(2+t)-(7-2t)=0\iff 2t-2=0\iff t=1$. Khi đó $A(1;-2;4)$, $\overrightarrow{AM}=(2;3;5)$, $AM=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}$ → Đúng.
d) Thay $M(3;1;9)$ vào $(\alpha )$: $3+1-9+3=-2\ne 0$ nên $M\notin (\alpha )$ → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp bảng đáp án mã đề 1002 (ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(\alpha ):x+y-z+3=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A(t;-1-t;2+2t)$, $\overrightarrow{AM}=(3-t;2+t;7-2t)$. $AM\parallel (\alpha )\iff \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0\iff (3-t)+(2+t)-(7-2t)=0\iff t=1$. Khi đó $A(1;-2;4)$, $AM=\sqrt{2^2+3^2+5^2}=\sqrt{38}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo phương trình tham số của $d$, mọi điểm trên $d$ có tọa độ $A(t;-1-t;2+2t)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;1;9)$: $3+1-9+3=-2\ne 0$, nên $M$ không thuộc $(\alpha )$.