Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=1\\ z=2+t\end{array}$ và $(Q):x+2y-z+2=0$. Gọi ${\Delta }^{\prime }$ là đường thẳng đối xứng với $\Delta$ qua $(Q)$. Hỏi ${\Delta }^{\prime }$ đi qua điểm nào sau đây?

Véctơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }=(-2;0;1)$, véctơ pháp tuyến ${\vec{n}}_Q=(1;2;-1)$.

Gọi $M=\Delta \cap (Q)⟹M(1-2t;1;2+t)\in (Q)⟹1-2t+2-2-t+2=0⟺t=1⟹M(-1;1;3)$.

Lấy $A(1;1;2)\in \Delta$, gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $(Q)⟹H\left(\frac{1}{2};0;\frac{5}{2}\right)$.

$A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $(Q)⟹A^{\prime }(0;-1;3)⟹\overrightarrow{A^{\prime }M}=(-1;2;0)$.

${\Delta }^{\prime }$ đi qua $A^{\prime }(0;-1;3)$ và có VTCP $\vec{u}=(-1;2;0)$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-1+2t\\ z=3\end{array}$.

Cho $t=-2$ ta thấy điểm $(2;-5;3)\in {\Delta }^{\prime }$.