Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;0;1)$ và $B(-1;-6;7)$ và mặt phẳng $(P):x-y+z-3=0$. Xét điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$, tìm giá trị nhỏ nhất của $2M{A}^2+M{B}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng đẳng thức Leibniz: $2M{A}^2+M{B}^2=3M{G}^2+\frac{2A{B}^2}{3}$ với $G$ là trọng tâm tam giác $MAB$, tức $G=\frac{2A+B}{3}$. Tính $G=\left(\frac{2\cdot 2+(-1)}{3};\frac{2\cdot 0+(-6)}{3};\frac{2\cdot 1+7}{3}\right)=(1;-2;3)$. Ta có $A{B}^2=(-3{)}^2+(-6{)}^2+6^2=81$. Vì $M\in (P)$ nên $M{G}^2\ge d^2(G,(P))$. Khoảng cách từ $G$ đến $(P)$: $d=\frac{|1-(-2)+3-3|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $3\cdot (\sqrt{3}{)}^2+\frac{2\cdot 81}{3}=9+54=63$, đạt được khi $M$ là hình chiếu của $G$ lên $(P)$.