Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;0;3)$, $B(6;1;-1)$ và mặt phẳng $(P):x-y+3z-2=0$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và đi qua $B$.

Một vector chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ là $\vec{u}=(2;1;-4)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=-t\\ z=3+3t\end{array}$.

Gọi $d$ là một đường thẳng nằm trong $(P)$ và $d$ đi qua $B$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $d$ đạt giá trị nhỏ nhất. Một vector chỉ phương của $d$ có toạ độ là $(a;b;c)$ với $a$ là số nguyên tố. Khi đó $a+b+c=4$.