Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;-2;4),B(-2;6;4)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-1\\ z=t\end{array}$. Gọi $M$ là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA\perp MB$ và $N$ là điểm thay đổi thuộc $d$. Khi $MN$ nhỏ nhất, tìm hoành độ điểm $M$.

Vì $MA\perp MB$ nên $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(1;2;4)$ và bán kính $R=\frac{AB}{2}=5$. Do $M\in (Oxy):z=0$ nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ trong mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5^2-4^2=9$, tâm $H(1;2;0)$ và bán kính $r=3$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $(Oxy)$ tại điểm $K(5;-1;0)$, có $HK=\sqrt{(5-1{)}^2+(-1-2{)}^2}=5>r$. Với mọi $M\in (C)$ và $N\in d$, ta có $MN=\sqrt{M{K}^2+K{N}^2}\ge MK\ge HK-r=2$. Đẳng thức xảy ra khi $N\equiv K(5;-1;0)$ và $M$ thuộc đoạn $HK$ sao cho $\overrightarrow{HM}=\frac{r}{HK}\overrightarrow{HK}=\frac{3}{5}(4;-3;0)\Rightarrow x_M=1+\frac{12}{5}=\frac{17}{5}$. Chọn D.