Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+2{)}^2=64$. Hai điểm $M,N$ thuộc $(S)$ sao cho $MN=4\sqrt{7}$ và $O{M}^2+O{N}^2=74$. Tính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $MN$.

Chọn D
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;-2)$, bán kính $R=8$.
$OI=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=3$.
Gọi $H$ là trung điểm của $MN\Rightarrow IH\perp MN$.
$IH=\sqrt{R^2-{\left(\frac{MN}{2}\right)}^2}=\sqrt{64-28}=6$.
Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác $OMN$:
$O{H}^2=\frac{O{M}^2+O{N}^2}{2}-\frac{M{N}^2}{4}=\frac{74}{2}-\frac{112}{4}=37-28=9\Rightarrow OH=3$.
Vì $H$ là trung điểm của dây cung $MN$ và $OH=3$, khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $MN$ bằng $d(O,MN)=3$.