Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=48$ và hai điểm $A(-1;6;4),B(0;1;-1)$.

a) Đúng. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;-2;1)$ và bán kính $R=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.
b) Sai. Ta có $I{A}^2=(-1-3{)}^2+(6+2{)}^2+(4-1{)}^2=16+64+9=89>48$ (nên $A$ nằm ngoài $(S)$), nhưng $I{B}^2=(0-3{)}^2+(1+2{)}^2+(-1-1{)}^2=9+9+4=22<48$ nên điểm $B$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
c) Sai. Vì điểm $B$ nằm trong mặt cầu $(S)$ còn điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ nên đường thẳng $AB$ luôn cắt mặt cầu $(S)$ tại $2$ điểm phân biệt.
d) Đúng. Vì $B$ nằm trong $(S)$ nên mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $AB$ luôn cắt $(S)$ theo đường tròn $(C)$ có chu vi lớn nhất khi bán kính đường tròn lớn nhất, tức là khi tâm $I(3;-2;1)$ thuộc $(\alpha )$ (hay $(\alpha )$ là mặt phẳng $(IAB)$). Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-5;-5)$, $\overrightarrow{BI}=(3;-3;2)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BI}]=(-25;-17;12)=-(25;17;-12)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $B(0;1;-1)$ có VTPT $\vec{n}=(25;17;-12)$ có phương trình $25x+17(y-1)-12(z+1)=0\iff 25x+17y-12z-29=0$.