Trong không gian $Oxyz$, gọi $(C)$ là đường tròn giao của mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+1=0$. Mặt cầu đi qua điểm $A(-1;2;1)$ và chứa đường tròn $(C)$ có bán kính là

Vì $(C)$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2y-2z-2=0$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+1=0$ nên mặt cầu $(S^{\prime })$ chứa đường tròn $(C)$ có phương trình dạng:
$x^2+y^2+z^2-2y-2z-2+m(x+y+z+1)=0$
Vì $A(-1;2;1)\in (S^{\prime })$ nên:
$(-1{)}^2+2^2+1^2-2\cdot 2-2\cdot 1-2+m(-1+2+1+1)=0\iff 3m-2=0\iff m=\frac{2}{3}$
Khi đó phương trình mặt cầu $(S^{\prime })$ là:
$x^2+y^2+z^2+\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}z-\frac{4}{3}=0\iff {\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(y-\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(z-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{7}{3}$
Suy ra bán kính mặt cầu $(S^{\prime })$ là $R=\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$.
Chọn đáp án C.