Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị tính bằng $1\text{ cm}$, cho mặt nón đỉnh $S(0;0;7)$ có đáy là đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $3\text{ cm}$ và $A(4;3;5)$; $M$ là điểm thay đổi trên mặt nón.

Giá trị nhỏ nhất của độ dài $AM$ bằng bao nhiêu $\text{cm}$? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình nón có chiều cao bằng $h$, bán kính đáy bằng $r$ và độ dài đường sinh bằng $l$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền hình thang $ABCD$ (có hai đáy là $AB,DC$) quanh trục $AD$. Biết rằng $\widehat{DAB}=\widehat{ADC}=90^{\circ }$ và $AB=1\text{ cm}$, $DC=3\text{ cm}$, $BC=\sqrt{5}\text{ cm}$. Tính thể tích của vật đó, kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Sau một trận lũ lớn, một trạm cứu hộ sử dụng drone để vận chuyển nhu yếu phẩm đến người dân bị cô lập. Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại trạm cứu hộ, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo tính theo mét. Một chiếc drone chưa được sạc đầy pin xuất phát từ trạm, phát hiện được hai địa điểm cần cứu hộ ở trên nóc hai tòa nhà là $A(120;90;30)$ và $B(40;30;10)$. Sau khi bay đến điểm $A$, drone chỉ còn đủ pin để bay $40\%$ quãng đường từ $A$ đến $B$. Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Trong một sân vận động, chọn hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo là mét, trong đó mặt sân nằm trên mặt phẳng $Oxy$ và trục $Oz$ vuông góc với mặt sân. Một hệ thống camera tự động được lắp trên một thanh ray cố định ở phía trên sân. Hai đầu của thanh ray lần lượt có tọa độ là $A(0;6;8)$ và $B(12;6;8)$. Camera có thể di chuyển dọc theo đoạn ray $AB$. Một cầu thủ đang đứng cố định tại vị trí $C(6;0;0)$. Gọi $M$ là vị trí của camera. Để hình ảnh cầu thủ rõ nét, nhà sản xuất quy định độ phóng đại hiệu dụng của camera tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ camera đến cầu thủ. Do đó để hình ảnh đạt chất lượng cao nhất, cần tìm vị trí của điểm $M$ để khoảng cách $CM$ nhỏ nhất. Điểm $M$ cách đầu ray $A$ bao nhiêu mét để khoảng cách từ camera đến cầu thủ là nhỏ nhất?

Cho hình nón có bán kính đáy $r=4$ và độ dài đường sinh $l=5$. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

Trong không gian, cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, biết $AB=4a$. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình tam giác $ABC$ quanh cạnh huyền $BC$ bằng