Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{1}$ và hai điểm $A(1;-1;1),B(4;2;-2)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $B$ đến $\Delta$ là nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là

Chọn D.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;-1;1)$ và vuông góc với $d$ nên $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$.
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(2;2;1)$, ta có $\overrightarrow{AB}=(3;3;-3)=3(1;1;-1)$.
Khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ nhỏ nhất khi $\Delta$ đi qua $A$ và hình chiếu vuông góc của $B$ lên $(P)$, tức là $\Delta$ là giao tuyến của $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $A,B$ đồng thời vuông góc với $(P)$.
Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_Q=\left[{\vec{u}}_d,\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\right]=(-3;3;0)=-3(1;-1;0)$.
Khi đó vectơ chỉ phương của $\Delta$ là ${\vec{u}}_{\Delta }=\left[{\vec{u}}_d,(1;-1;0)\right]=(1;1;-4)$.
Vậy phương trình của $\Delta$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-4}$.