Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(5;0;2),B(5;10;4)$. Các điểm $M,N$ di động trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho độ dài $MN$ bằng 2. Tổng $AM+BN$ có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 21), Câu 6 Phần III có đáp án là 10.

Gọi $A^{\prime }(5;0;0)$ và $B^{\prime }(5;10;0)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ lên mặt phẳng $(Oxy)$.
Khoảng cách giữa hai hình chiếu: $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{(5-5{)}^2+(10-0{)}^2+0}=10$.
Vì $A$ và $B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $(Oxy)$ ($z_A=2>0,z_B=4>0$), lấy điểm $B_1$ đối xứng với $B$ qua $(Oxy)⟹B_1(5;10;-4)$.
Sử dụng phép tịnh tiến vectơ theo phương của đoạn $MN$ với độ dài $MN=2$, khoảng cách nhỏ nhất giữa $A$ và điểm tịnh tiến của $B_1$ là:
$(AM+BN{)}_{\min }=\sqrt{(A^{\prime }{B}^{\prime }-MN{)}^2+(z_A-z_{B_1}{)}^2}=\sqrt{(10-2{)}^2+(2-(-4){)}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10$.