Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, các đỉnh $B(m;0;0)$, $D(0;m;0)$, $A^{\prime }(0;0;n)$ với $m$, $n>0$ và $m+n=4$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$.

a) Tọa độ của điểm $C$ là $C(m;m;0)$. Chọn SAI.



b) $d\left(C;(A^{\prime }BD)\right)=d\left(A;(A^{\prime }BD)\right)=h$ $\Rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{A{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{9}{16}$ $\Rightarrow h=\frac{4}{3}$. Chọn ĐÚNG.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $BD$, gọi $K$ là giao điểm của $A^{\prime }C$ và $C^{\prime }C$. Suy ra $C^{\prime }C\cap (A^{\prime }BD)=K$. Ta có $MK=\frac{3}{2}CK\Rightarrow d\left(M;(A^{\prime }BD)\right)=\frac{3}{2}d\left(C;(A^{\prime }BD)\right)$. Chọn ĐÚNG.

d) Ta chia khối hộp chữ nhật thành các hình chóp với $V_{BD{A}^{\prime }M}=V_7=\frac{1}{4}{m}^2(4-m)$; xét hàm số trên $[0;4]$ ta được ${\max }_{[0;4]}{V}_7=\frac{64}{27}$. Chọn ĐÚNG.
a) Tọa độ của điểm $C$ là $C(m;m;0)$. Chọn SAI.
b) $d\left(C;(A^{\prime }BD)\right)=d\left(A;(A^{\prime }BD)\right)=h$ $\Rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{A{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{9}{16}$ $\Rightarrow h=\frac{4}{3}$. Chọn ĐÚNG.
c) Gọi $I$ là trung điểm của $BD$, gọi $K$ là giao điểm của $A^{\prime }C$ và $C^{\prime }C$. Suy ra $C^{\prime }C\cap (A^{\prime }BD)=K$. Ta có $MK=\frac{3}{2}CK\Rightarrow d\left(M;(A^{\prime }BD)\right)=\frac{3}{2}d\left(C;(A^{\prime }BD)\right)$. Chọn ĐÚNG.
d) Ta chia khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thành các hình chóp có thể tích $V_{M.BCD}=V_1$, $V_{B.B^{\prime }{C}^{\prime }{A}^{\prime }}=V_2$, $V_{A^{\prime }.BCM}=V_3$, $V_{A^{\prime }.MD{C}^{\prime }}=V_4$, $V_{D.A^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }}=V_5$, $V_{A^{\prime }.ABD}=V_6$ và $V_{BD{A}^{\prime }M}=V_7$. Khi đó, ta có: $$V=V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=m^2.n=V_1+V_2+V_3+V_4+V_5+V_6+V_7.$$ Trong đó $V_1=\frac{1}{3}.\frac{n}{2}.\frac{1}{2}{m}^2=\frac{1}{12}V$; $$V_2=\frac{1}{3}n.\frac{1}{2}{m}^2=\frac{1}{6}V;V_3=\frac{1}{3}m.\frac{1}{4}m.n=\frac{1}{12}V;V_4=\frac{1}{12}V;V_5=\frac{1}{6}V;V_6=\frac{1}{6}V.$$ Suy ra $V_{BD{A}^{\prime }M}=V_7=V-\left(V_1+V_2+V_3+V_4+V_5+V_6\right)=V-\frac{3}{4}V=\frac{1}{4}V=\frac{1}{4}{m}^{2}n$; do $m+n=4\Rightarrow n=4-m\Rightarrow$ $$V_{BD{A}^{\prime }M}=V_7=\frac{1}{4}{m}^2\left(4-m\right)=\frac{1}{4}\left(4m^2-m^3\right).$$ Xét hàm số $V_7=\frac{1}{4}\left(4m^2-m^3\right)$ xác định và liên tục trên $[0;4]$: $${\left(V_7\right)}^{\prime }=2m-\frac{3}{4}{m}^2=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\in [0;4]\\ m=\frac{8}{3}\in [0;4]\end{array}\right],V_7(0)=0,V_7\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{64}{27},V_7(4)=0.\text{Vậy}\underset{[0;4]}{\max }{V}_7=\frac{64}{27}.$$ Chọn ĐÚNG.