Trong không gian với hệ trục Oxyz, giả sử mặt đất trùng với mặt phẳng . Một bóng đèn trang trí dạng khối cầu có tâm và bán kính được treo cố định lên trần nhà (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ). Một con kiến bò tùy ý trên bóng đèn và một con kiến khác bò tùy ý trên mặt đất, giả sử vecto tạo bởi tọa độ vị trí của 2 con kiến luôn cùng phương với đường thẳng (coi mỗi con kiến là một điểm). Biết lúc 2 con kiến gần nhau nhất có khoảng cách bằng . Bán khối cầu có độ dài bao nhiêu ?
Trong không gian với hệ trục Oxyz, giả sử mặt đất trùng với mặt phẳng . Một bóng đèn trang trí dạng khối cầu có tâm và bán kính được treo cố định lên trần nhà (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ). Một con kiến bò tùy ý trên bóng đèn và một con kiến khác bò tùy ý trên mặt đất, giả sử vecto tạo bởi tọa độ vị trí của 2 con kiến luôn cùng phương với đường thẳng (coi mỗi con kiến là một điểm). Biết lúc 2 con kiến gần nhau nhất có khoảng cách bằng . Bán khối cầu có độ dài bao nhiêu ?
Đáp án chính thức: 20
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Gọi M là vị trí kiến trên mặt cầu (tâm I(-1;2;4), bán kính R), N là vị trí kiến trên mặt đất (z=0), với vecto MN cùng phương Δ có vt u=(1;2;2), |u|=3. Đường thẳng qua M theo phương u cắt mặt phẳng z=0 tại N: tham số t thỏa z_M + 2t = 0 nên t = -z_M/2, do đó MN = |t|·|u| = (3/2)z_M (vì z_M > 0). Khoảng cách nhỏ nhất đạt khi z_M nhỏ nhất trên mặt cầu: z_min = 4 - R. Vậy (3/2)(4-R) = 57/10 ⟹ 4-R = 19/5 ⟹ R = 1/5 m = 20 cm.
Gọi M là vị trí kiến trên mặt cầu (tâm I(-1;2;4), bán kính R), N là vị trí kiến trên mặt đất (z=0), với vecto MN cùng phương Δ có vt u=(1;2;2), |u|=3. Đường thẳng qua M theo phương u cắt mặt phẳng z=0 tại N: tham số t thỏa z_M + 2t = 0 nên t = -z_M/2, do đó MN = |t|·|u| = (3/2)z_M (vì z_M > 0). Khoảng cách nhỏ nhất đạt khi z_M nhỏ nhất trên mặt cầu: z_min = 4 - R. Vậy (3/2)(4-R) = 57/10 ⟹ 4-R = 19/5 ⟹ R = 1/5 m = 20 cm.