Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có tâm là $I(2;0)$, bán kính $R$ và điểm $M(-5;6)$ nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng $d:x+2y-7=0$ đi qua điểm $M$ và cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $MA=3MB$. Tính bình phương độ dài bán kính $R$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x+2y-7=0$ đi qua $M(-5;6)$ (kiểm tra: $-5+12-7=0$). Gọi $H$ là hình chiếu của $I(2;0)$ trên $d$, khoảng cách từ $I$ đến $d$ là $d(I,d)=\frac{|2+0-7|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}$, nên $R^2=I{H}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=5+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$.

Vì $M$ nằm ngoài $(C)$ và $MA=3MB$ với $A,B$ trên $d$ qua $M$, hai điểm $A,B$ phải nằm cùng phía của $M$ trên $d$ (nếu $M$ giữa $A$ và $B$ thì $M$ nằm trong đoạn cắt, suy ra $M$ trong đường tròn, mâu thuẫn). Đặt $MB=t>0$ thì $MA=3t$, $AB=2t$.

Phương tích của $M$ đối với $(C)$: $M{I}^2-R^2=MA\cdot MB=3t^2$, với $M{I}^2=(2+5{)}^2+(0-6{)}^2=85$.

Kết hợp: $85-R^2=3t^2$ và $R^2=5+t^2$ $\Rightarrow 85-(5+t^2)=3t^2\Rightarrow 80=4t^2\Rightarrow t^2=20$.

Suy ra $R^2=5+20=25$. Đáp số: $R^2=25$, khớp với đáp án 25 ở trang 7.