Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $B(-12;1)$, đường phân giác trong góc $A$ có phương trình $d:x+2y-5=0$. $G\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó đường thẳng $BC$ có dạng $x+ay+b=0$. Tính $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra $A+C=3G-B=(1;2)-(-12;1)=(13;1)$. Phản điểm $B(-12;1)$ qua phân giác $d:x+2y-5=0$: đường vuông góc với $d$ qua $B$ có vectơ chỉ phương $(1;2)$, giao điểm $H=(-9;7)$, nên $B^{\prime }=2H-B=(-6;13)$ nằm trên đường thẳng $AC$. Gọi $A=(a;\frac{5-a}{2})$ (thuộc $d$), khi đó $C=(13-a;\frac{a-3}{2})$. Điều kiện $A,B^{\prime },C$ thẳng hàng cho $(-6-a)(a-4)-\frac{(13-2a)(21+a)}{2}=0\Rightarrow 25a-225=0\Rightarrow a=9$. Vậy $A=(9;-2)$, $C=(4;3)$. Đường thẳng $BC$ qua $B(-12;1)$ và $C(4;3)$: $x-8y+20=0$, tức $a=-8$, $b=20$, nên $a+b=12$.