Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;1)$, $B(4;2)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $x-y+2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(4-1;2-1)=(3;1)$ nên $\vec{u}=(3;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ → đúng.
b) Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1;1)$ với VTCP $(3;1)$ nên có VTPT $\vec{n}=(1;-3)$, phương trình: $1(x-1)-3(y-1)=0\iff x-3y+2=0$. Thử $B(4;2)$: $4-6+2=0$ ✓ → đúng.
c) Giải hệ $\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x-3y+2=0\end{array}$: trừ hai phương trình được $2y=0\Rightarrow y=0$, suy ra $x=-2$. Giao điểm là $I(-2;0)$, không phải $I(2;0)$ → sai.
d) $M(a;b)\in d\Rightarrow b=a+2$. $AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$. Khoảng cách từ $M$ đến $AB$: $h=\frac{|a-3b+2|}{\sqrt{10}}=\frac{|a-3(a+2)+2|}{\sqrt{10}}=\frac{|-2a-4|}{\sqrt{10}}$. Diện tích $\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10}\cdot h=4\Rightarrow |2a+4|=8\Rightarrow a=2$ (nhận, vì $a>0$) hoặc $a=-6$ (loại). Vậy $a=2,b=4$, $a\cdot b=8$ → đúng.
Lưu ý: trang 11 là đáp án của ĐỀ 4 (khớp Câu 2 tổ 5 nam/3 nữ), không phải đáp án của đề này, nên không có mâu thuẫn với kết quả trên.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}=(3;1)$ là vectơ chỉ phương của $AB$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Qua $A(1;1)$, VTPT $(1;-3)$: $x-3y+2=0$, thỏa cả $B(4;2)$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giao điểm của $AB$ và $d$ là $I(-2;0)$, không phải $I(2;0)$ → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $b=a+2$, diện tích $=4\Rightarrow |2a+4|=8\Rightarrow a=2$ ($a>0$), $b=4$, $a\cdot b=8$ → đúng.