Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ các đỉnh $A,B,C$ lần lượt có phương trình là $x-2y=0,x-2=0,x+y-3=0$. Biết độ dài đường cao đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ bằng $\frac{12}{\sqrt{5}}$ và đỉnh $A(x_A;y_A)$ có $x_A<0$. Tính $T=1013|y_A|$.

(AI giải đề cho tôi)
Trực tâm H là giao hai đường cao từ B và C: x−2=0 và x+y−3=0 cho H(2;1). Đường cao từ A là x−2y=0 nên A=(2t;t). Vì đường cao từ B là x=2 nên AC nằm ngang: y_C=t. Vì đường cao từ C là x+y−3=0 nên AB có hệ số góc 1: y=x−t, suy ra B=(2;−4−c) với BC: 2x+y+c=0 (BC vuông góc đường cao từ A). C thuộc AC: từ hệ 2x+y+c=0, x+y−3=0 được C=(−3−c;6+c), và y_C=6+c=t. Khoảng cách từ A đến BC: |5t+c|/√5=12/√5, với c=t−6 ta được |6t−6|=12 → t=3 hoặc t=−1. Vì x_A=2t<0 nên t=−1, y_A=−1. Vậy T=1013·|−1|=1013.