Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}7x+2y+11\ge 0\\ x-y\le 1\\ 4x+5y\le 13\end{array}$$ (miền không bị gạch bỏ) Giá trị lớn nhất của biểu thức $T=3x+5y+17$ bằng?

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm (S) là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $x-y=1$: thay $x=y+1$ vào $7(y+1)+2y+11=0\Rightarrow 9y=-18\Rightarrow y=-2,x=-1$, tức $A(-1;-2)$.
- Giao của $x-y=1$ và $4x+5y=13$: $4(y+1)+5y=13\Rightarrow 9y=9\Rightarrow y=1,x=2$, tức $B(2;1)$.
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $4x+5y=13$: nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 2: $35x+10y=-55$, $8x+10y=26\Rightarrow 27x=-81\Rightarrow x=-3$, khi đó $y=\frac{-11-7(-3)}{2}=5$, tức $C(-3;5)$ (khớp với hình vẽ).

Vì $T=3x+5y+17$ là hàm tuyến tính nên GTLN trên miền tam giác đạt tại một đỉnh:
- $T(A)=3(-1)+5(-2)+17=0$
- $T(B)=6+5+17=28$
- $T(C)=-9+25+17=33$

Vậy $\max T=33$, đạt tại $C(-3;5)$, trùng với đáp án nguồn (đề 113, câu 1 = 33).